Ekspresi Surd Kuadrat dan Operasinya
Pengantar Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit
- Definisi
- Aturan Operasional Dasar pada $\sqrt{a}$
- Rasionalisasi Penyebut
- Contoh Soal
Definisi
Untuk bilangan bulat positif genap $n$, dengan notasi $\sqrt[n]{a}$, di mana $a ≥ 0$, kita menyatakan bilangan riil non-negatif $x$ yang memenuhi persamaan $x^n = a$. Khususnya, ketika $n = 2,\sqrt[2]{a}$ disebut akar kuadrat dari $a$, dan biasanya dilambangkan dengan $\sqrt{a}$.
Untuk bilangan bulat positif ganjil $n$ dan sembarang bilangan riil $a$, dengan notasi $\sqrt[n]{a}$ kita menunjukkan bilangan riil $x$ yang memenuhi persamaan $x^n = a.$
Ekspresi aljabar yang mengandung $\sqrt{a}$, di mana $a > 0$ bukan bilangan kuadrat sempurna, disebut ekspresi kuadrat surd, seperti $1-\sqrt{2},\frac{1}{2-\sqrt{3}}$, dst.
Aturan Operasional Dasar pada $\sqrt{a}$
- $(\sqrt{a})^2=a$, dimana $a\ge 0$.
- $\sqrt{a^2}=|a|=\left\{ \begin{array}{cl}
a & \text{untuk }a>0, \\
0 & \text{untuk }a=0, \\
-a & \text{untuk }a<0.
\end{array} \right.$ - $\sqrt{ab}=\sqrt{|a|}\cdot \sqrt{|b|}$ jika $ab\ge 0$.
- $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}$ jika $ab\ge 0,b\neq 0.$
- $(\sqrt{a})^n=\sqrt{a^n}$ jika $a\ge 0$.
- $a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$ jika $c\ge 0$.
Rasionalisasi Penyebut
- $\frac{1}{a\sqrt{b}+c\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}{a^2b-c^2d},$ dimana $a,b,c,d$ adalah bilangan rasional, $b,d\ge 0$ dan $a^2b-c^2d\neq 0$.
- $\frac{1}{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}=\frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{a^2b-c^2b},$ dimana $a,b,c,d$ adalah bilangan rasional, $b,d\ge 0$ dan $a^2b-c^2d\neq 0$.
Dalam aljabar, ekspresi $A + B\sqrt{C}$ dan $A − B\sqrt{C}$, di mana $A, B, C$ adalah rasional dan $\sqrt{C}$ adalah irasional, disebut ekspresi surd konjugat.
Penyelidikan bentuk surd diperlukan dan sangat penting dalam aljabar, karena bentuk surd dan bilangan irasional memiliki hubungan yang erat. Misalnya, semua bilangan berbentuk $\sqrt{n}, n ∈ \mathbb{N}$ adalah irasional jika bilangan bulat positif $n$ bukan kuadrat sempurna. Dengan kata lain, penyelidikan ekspresi bentuk surd pada dasarnya adalah penyelidikan bilangan irasional dan operasinya.
Contoh Soal
- Sederhanakan ekspresi $\frac{a}{a-2b}\sqrt{\frac{a^2-4ab+4b^2}{a(2b-a)}}$.
Solusi: Karena $a-2b\neq 0$, maka $$\frac{a^2-4ab+4b^2}{a(2b-a)}=\frac{(a-2b)^2}{a(2b-a)}>0\Rightarrow a(2b-a)>0.$$ Oleh karena itu $\frac{a}{a-2b}<0$ dan $\frac{a}{2b-a}>0$, maka $$\frac{a}{a-2b}\sqrt{\frac{a^2-4ab+4b^2}{a}}=-\left(\frac{a}{2b-a}\right)\sqrt{\frac{(2b-a)^2}{a(2b-a)}}$$ $$=-\sqrt{\frac{a^2}{(2b-a)^2}\cdot \frac{(2b-a)}{a}}=-\sqrt{\frac{a}{2b-a}}$$ - Diberikan $c>1$ dan $$x=\frac{\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}}{\sqrt{c}-\sqrt{c-1}},y=\frac{\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}}{\sqrt{c+1}-\sqrt{c}},z=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{c-1}}{\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}},$$ susun $x, y, z$ dalam urutan menaik.
Solusi: Dari $$x=\frac{\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}}{\sqrt{c}-\sqrt{c-1}}=\frac{[(\sqrt{c+2})^2-(\sqrt{c+1})^2](\sqrt{c}+\sqrt{c-1})}{(\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1})[(\sqrt{c})^2-(\sqrt{c-1})^2]}$$ $$=\frac{\sqrt{c}+\sqrt{c-1}}{\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1}},$$ $$y=\frac{\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}}{\sqrt{c+1}-\sqrt{c}}=\frac{[(\sqrt{c+2})^2-(\sqrt{c+1})^2](\sqrt{c+1}+\sqrt{c})}{(\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1})[(\sqrt{c+1})^2-(\sqrt{c})^2]}$$ $$=\frac{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}{\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1}},$$ maka $x < y$. Selanjutnya, $$z=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{c-1}}{\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}}=\frac{[(\sqrt{c})^2-(\sqrt{c-1})^2](\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1})}{(\sqrt{c}+\sqrt{c+1})[(\sqrt{c+2})^2-(\sqrt{c+1})^2]}$$ $$=\frac{\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1}}{\sqrt{c}+\sqrt{c-1}}.$$ Karena $\sqrt{c}+\sqrt{c-1}<\sqrt{c+1}+\sqrt{c}<\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1}$, maka $x<y<z$. - Misalkan $x$ adalah bilangan riil, dan misalkan $$A=\frac{-1+3x}{1+x}-\frac{\sqrt{|x|-2}+\sqrt{2-|x|}}{|2-x|}.$$ Buktikan bahwa $A$ adalah bilangan bulat, dan temukan digit satuan dari $A^{2003}$.
Solusi: Karena $|x|-2\ge 0$ dan $2-|x|\ge 0$ secara bersamaan menyiratkan $|x|=2$, maka $x=\pm 2$ saja. Karena penyebut $|x − 2| \neq 0$, yaitu $x \neq 2$, maka $x = −2$. Oleh karena itu, $A = 7$. Maka $$7^{2003}=(7^4)^{500}\cdot 7^3\equiv 243\equiv 3\text{ }\text{ }\text{ (mod 10)},$$ oleh karena itu angka satuan $A$ adalah $3$. - Diketahui $x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}},y=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$, tentukan nilai dari $x^4+y^4+(x+y)^4$.
Solusi: Di sini, teknik penting adalah mengekspresikan $x^4 + y^4 + (x + y)^4$ dengan $x + y$ dan $xy$, alih-alih menggunakan ekspresi $x$ dan $y$ yang rumit. Dari $$x=\frac{1}{7-3}(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2=\frac{1}{4}(10+2\sqrt{21})=\frac{1}{2}(5+\sqrt{21}),$$ $$y=\frac{1}{7-3}(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2=\frac{1}{4}(10-2\sqrt{21})=\frac{1}{2}(5-\sqrt{21}),$$ maka diperoleh $x+y=5$ dan $xy=1$. Oleh karena itu $$x^4+y^4+(x+y)^4$$ $$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+5^4=[(x+y)^2-2(xy)]^2-2(xy)^2+625$$ $$=23^2-2+625=527+625=1152.$$ - Sederhanakan ekspresi $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ dengan merasionalkan penyebutnya.
Solusi: $$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=1-\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$ $$=1-\frac{2\sqrt{5}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-5}=1-\frac{2(\sqrt{10}+\sqrt{15}-5)}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}$$ $$=1-\frac{\sqrt{10}+\sqrt{15}-5}{\sqrt{6}}=1-\frac{\sqrt{60}+\sqrt{90}-5\sqrt{6}}{6}$$ $$=1-\frac{\sqrt{15}}{3}-\frac{\sqrt{10}}{2}+\frac{5\sqrt{6}}{6}.$$ - Sederhanakan $S=\sqrt{x^2+2x+1}-\sqrt{x^2+4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}$
Solusi: Dari $S=\sqrt{x^2+2x+1}-\sqrt{x^2+4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=|x+1|-|x+2|+|x-3|$, ada empat kemungkinan kasus sebagai berikut:
(i) Ketika $x\le -2$, maka $S=-(x+1)+(x+2)-(x-3)=-x+4$
(ii) Ketika $-2<x\le -1$, maka $S=-(x+1)-(x+2)-(x-3)=-3x$.
(iii) Ketika $-1<x\le 3$, maka $S=(x+1)-(x+2)-(x-3)=-x+2$.
(iv) Ketika $3<x$, maka $S=(x+1)-(x+2)+(x-3)=x-4$. - Evaluasi $$(\sqrt{10}+\sqrt{11}+\sqrt{12})(\sqrt{10}+\sqrt{11}-\sqrt{12})(\sqrt{10}-\sqrt{11}+\sqrt{12})(\sqrt{10}-\sqrt{11}-\sqrt{12})$$
Solusi: Misalkan $A=(\sqrt{10}+\sqrt{11}+\sqrt{12})(\sqrt{10}+\sqrt{11}-\sqrt{12})(\sqrt{10}-\sqrt{11}+\sqrt{12})(\sqrt{10}-\sqrt{11}-\sqrt{12})$. Maka $$A=[(\sqrt{10}+\sqrt{11})^2-(\sqrt{12})^2][(\sqrt{10}-\sqrt{11})^2-(\sqrt{12})^2]$$ $$=(9+2\sqrt{10}\cdot \sqrt{11})(9-2\sqrt{10}\cdot \sqrt{11})=81-440=-359$$ - Evaluasi $N=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{35}+\sqrt{21}+5}{\sqrt{3}+2\sqrt{5}+\sqrt{7}}$.
Solusi: $$N=\frac{(\sqrt{15}+\sqrt{21})+(\sqrt{35}+4)}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(\sqrt{5}+\sqrt{7})}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{7})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(\sqrt{5}+\sqrt{7})}$$ $$\Longrightarrow \frac{1}{N}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(\sqrt{5}+\sqrt{7})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{7})}=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$ $$=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{3})$$ $$∴ N=\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$$ - Sederhanakan $$P=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+…+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$$
Solusi: Untuk setiap bilangan bulat $n$, $$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}$$ $$=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}},$$ maka $$P=\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+…+\left(\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\right)$$ $$=1-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}.$$
“Optimism is the faith that leads to achievement. Nothing can be done without hope and confidence.”
