Persamaan Linear dengan Nilai Mutlak
Pengantar Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit
- Contoh Soal
Untuk menyelesaikan persamaan linear dengan nilai absolut, kita perlu menghilangkan tanda nilai absolut dalam persamaan tersebut.
Dalam kasus paling sederhana $|P(x)| = Q(x)$, di mana $P(x), Q(x)$ adalah dua ekspresi dengan $Q(x) ≥ 0$, berdasarkan sifat nilai absolut, kita dapat menghilangkan tanda nilai absolut dengan menggunakan bentuk ekuivalennya.
$$P(x)=Q(x)\text{ }\text{ atau }\text{ }P(x)=-Q(x)\text{ }\text{ atau }\text{ }(P(x))^2=(Q(x))^2.$$
Jika terdapat lebih dari satu pasang tanda absolut dalam satu lapisan yang sama, seperti $|ax + b| − |cx + d| = e$, maka rentang variabel $x$ perlu dipartisi menjadi beberapa interval untuk dibahas (Bab 7).
Contoh Soal
- Selesaikan persamaan $|3x+2|=4$.
Solusi: Untuk menghilangkan tanda-tanda absolut dari $|3x+2|=4$ kita memiliki $$|3x+2|=4\Longleftrightarrow 3x+2=-4\text{ atau }3x+2=4,\Longleftrightarrow 3x=-6\text{ atau }3x=2,$$ $$x=-2\text{ }\text{ atau }\text{ }x=\frac{2}{3}.$$ - Selesaikan persamaan $|x-|3x+1||=4$.
Solusi: Untuk menghilangkan beberapa lapisan tanda nilai absolut, kita menghilangkannya lapis demi lapis dari lapisan luar ke lapisan dalam. Dari persamaan yang diberikan, kita memiliki $x-|3x+1|=4$ atau $x-|3x+1|=-4$.
Dari persamaan pertama $x-|3x+1|=4$ kita memiliki $$x-|3x+1|=4\Longleftrightarrow 0\le x-4=|3x+1|\Longleftrightarrow -x+4=3x+1\text{ atau }x-4=3x+1,$$ oleh karena itu $x=\frac{3}{4}$ atau $-\frac{5}{2}$, yang bertentangan dengan persyaratan $x ≥ 4$, sehingga kedua solusi tersebut tidak dapat diterima.
Persamaan kedua $x-|3x+1|=-4$ menyiratkan bahwa $$x-|3x+1|=-4\Longleftrightarrow 0\le x+4=|3x+1|\Longleftrightarrow -x-4=3x+1\text{ atau }x+4=3x+1,$$ oleh karena itu, $x_1=-\frac{5}{4},\text{ }x_2=\frac{3}{2}$. - Selesaikan persamaan $|||x|-2|-1|=3$.
Solusi: Terdapat tiga lapisan nilai absolut. Mirip dengan Contoh 2,
$|||x|-2|-1|=3\Longleftrightarrow ||x|-2|-1=3\text{ atau }||x|-2|-1=-3$
$\Longleftrightarrow ||x|-2|=4\text{ atau }||x|-2|-1|=-2\text{ (tidak ada solusi)}$
$\Longleftrightarrow |x|-2=4\text{ atau }|x|-2=-4\Longleftrightarrow |x|=6\text{ atau }|x|=-2\text{ (tidak ada solusi)}$
$\Longleftrightarrow |x|=6\Longleftrightarrow x_1=6,x_2=-6.$ - Jika $|x-2|+x-2=0$, maka jarak $x$ adalah …
(A) $x>2$, (B) $x<2$, (C) $x\ge 2$, (D) $x\le 2$.
Solusi: Persamaan yang diberikan menghasilkan $|x-2|=2-x$, jadi $x\le 2$ dan $$|x-2|=2-x\Longleftrightarrow x-2=2-x\text{ atau }x-2=x-2\Longleftrightarrow x=2\text{ atau }x\le 2.$$ Karena $x = 2$ terkandung dalam himpunan $x ≤ 2$, jawabannya adalah $x ≤ 2$, yaitu $(D)$. - Jika $||4m+5|-b|=6$ adalah persamaan dalam $m$, dan memiliki tiga solusi berbeda , temukan nilai bilangan rasional $b$.
Solusi: Dari persamaan yang diberikan kita memiliki (i) $|4m+5|-b=6$ atau (ii) $|4m+5|-b=-6$.
Jika (i) memiliki tepat satu solusi, maka $b + 6 = 0$, yaitu $b = −6$ yang menyiratkan
(ii) seharusnya $|4m + 5| = −12$, sehingga tidak ada solusi. Dengan demikian, $b \neq −6$ dan (i) memiliki dua solusi, tetapi (ii) memiliki tepat satu solusi, sehingga $b − 6 = 0$, yaitu $b = 6$. Faktanya, ketika $b = 6$, maka (i) menjadi $|4m + 5| = 12$, $$4m+5=12\text{ }\text{ atau }\text{ }4m+5=-12,$$ $$m=\frac{7}{4}\text{ }\text{ atau }\text{ }m=-\frac{17}{4},$$ dan, dari (ii) akar ketiga $m=-\frac{5}{4}$. - Selesaikan persamaan $|x-1|+2|x|-3|x+1|-|x+2|=x$.
Solusi: Misalkan setiap $|x − 1|, |x|, |x + 1|, |x + 2|$ bernilai $0$, kita peroleh $x =1, 0, −1, −2$. Dengan menggunakan keempat titik ini sebagai titik partisi, sumbu bilangan dipartisi menjadi lima interval: $x ≤ −2, −2 < x ≤ −1, −1 < x ≤ 0, 0 < x ≤1, 1 < x$.
(i) Ketika $x\le -2$, maka $$(1-x)+2(-x)+3(x+1)+(x+2)=x\Longleftrightarrow 6=0,\text{ }∴\text{ tidak ada solusi};$$
(ii) Ketika $-2<x\le -1$, maka $$(1-x)+2(-x)+3(x+1)-(x+2)=x,\Longleftrightarrow x=1,\text{ }∴\text{ tidak ada solusi};$$
(iii) Ketika $-1<x\le 0$, maka $$1-x+2(-x)-3(x+1)-(x+2)=x,\Longleftrightarrow 8x=-4,\text{ }∴x=-\frac{1}{2};$$
(iv) Ketika $0<x\le 1$, maka $$(1-x)+2x-3(x+1)-(x+2)=x\Longleftrightarrow 4x=-4,\text{ }∴x=-1,$$ oleh karena itu tidak ada solusi.
(v) Ketika $1<x$, maka $$(x-1)+2x-3(x+1)-(x+2)=x\Longleftrightarrow 2x=-6\text{ }x=-3$$ oleh karena itu tidak ada solusi.
Jadi, $x=-\frac{1}{2}$ adalah solusi yang unik. - Jika $|x+1|+(y+2)^2=0$ dan $ax-3ay=1$, Tentukan nilai $a$.
Solusi: Karena $|x+1|\ge 0$ dan $(y+2)^2\ge 0$ untuk setiap bilangan riil $x,y,$ jadi $x+1=0$ dan $y+2=0$, yaitu $x=-1,y=-2$. Dengan mensubtitusikan ke $ax-3ay=1$, maka diperoleh $-a+6a=1$, oleh karena itu $a=\frac{1}{5}$. - Berapa banyak pasangan $(x, y)$ dua bilangan bulat yang memenuhi persamaan $|xy| +|x − y| = 1$?
Solusi: $|xy|\ge 0$ dan $|x-y|\ge 0$ menyiratkan bahwa
(i) $|xy|=1,|x-y|=0$ atau (ii) $|xy|=0,|x-y|=1.$
(i) menyiratkan bahwa $x=y$ dan $x^2=y^2=1$, jadi solusi $(x,y)$ adalah $(1,1)$ atau $(-1,-1)$.
(ii) menyiratkan bahwa setidaknya satu dari $x,y$ adalah $0$. Ketika $x=0$, maka $|y|=1$, yaitu $y=\pm 1$; jika $y=0$, maka $|x|=1$, yaitu $x=\pm 1$. Dengan demikian, terdapat empat solusi untuk $(x, y)$ yaitu $(0, 1), (0, −1), ((1, 0), (−1, 0)$.
Jadi, terdapat total $6$ solusi untuk $(x, y)$. - Jika $|x+1|-|x-3|=a$ adalah persamaan di $x$, dan memiliki banyak solusi tak terhingga, cari nilai $a$.
Solusi: Dengan $−1, 3$ membagi sumbu bilangan menjadi tiga bagian: $x ≤ −1, −1 < x ≤ 3, 3 < x$.
(i) Ketika $x\le -1$, maka $$-(x+1)-(3-x)=a\Longleftrightarrow -4=a.$$ Oleh karena itu, nilai $x$ apa pun yang tidak lebih besar dari $−1$ merupakan solusi jika $a = −4$.
(ii) Ketika $-1<x\le 3$, maka $$(x+1)-(3-x)=a\Longleftrightarrow 2x=a+2\Longleftrightarrow x=\frac{1}{2}(a+2),$$ yaitu solusinya unik jika ada.
(iii) Ketika $3< x$, maka $$(x+1)-(x-3)=a\Longleftrightarrow 4=a.$$ Oleh karena itu, nilai $x$ apa pun yang lebih besar dari $3$ merupakan solusi jika $a = 4$.
Jadi, nilai $a$ yang mungkin adalah $−4$ dan $4$. - Jika $|x|+x+y=10$ dan $x+|y|-y=12$, Tentukan $x+y$.
Solusi: Ada empat kemungkinan kasus: (i) $x,y>0$; (ii) $x,y\le 0$; (iii) $x>0,y\le 0$ dan (iv) $x\le 0,y>0$.
(i) Jika $x>0,y>0$ maka $2x+y=10,x=12\Longleftrightarrow y<0$, kontradiksi, jadi tidak ada solusi;
(ii) Jika $x\le 0$ dan $y\le 0$, maka $y=10$, kontradiksi, tidak ada solusi;
(iii) Jika $x>0,y\le 0$, maka $2x+y=10,x-2y=12$. Dengan menghilangkan $y$, kita memiliki $x=\frac{32}{5}$, juga $y=-\frac{14}{5}$.
Jadi, $x+y=\frac{18}{5}$.
“Education is the most powerful weapon which you can use to change the world.”
