Pre Test Pelatda DKI

Titik $A, B, C, D,$ dan $E$ berjarak sama pada busur minor sebuah lingkaran. Titik $E, F, G, H, I,$ dan $A$ berjarak sama pada busur minor lingkaran kedua dengan pusat $C$ seperti ditunjukkan pada gambar di bawah. Sudut $\angle ABD$ melebihi $\angle AHG$ sebesar $12^o$. Tentukan besar sudut $\angle BAG$.

Pada diagram di bawah ini, $ABCD$ merupakan persegi. Titik $E$ adalah titik tengah $\overline{AD}$. Titik $F$ dan $G$ terletak pada $\overline{CE}$, dan $H$ dan $J$ masing-masing terletak pada $\overline{AB}$ dan $\overline{BC}$, sehingga $FGHJ$ merupakan persegi. Titik $K$ dan $L$ terletak pada $\overline{GH}$, dan $M$ dan $N$ masing-masing terletak pada $\overline{AD}$ dan $\overline{AB}$, sehingga $KLMN$ merupakan persegi. Luas $KLMN$ adalah 99. Tentukan luas $FGHJ$.

Untuk bilangan bulat positif $n$, misalkan $s(n)$ menyatakan jumlah digit $n$. Tentukan bilangan bulat positif terkecil $n$ yang memenuhi $s(n) = s(n+864) = 20$.

Misalkan $S$ adalah himpunan semua tripel terurut bilangan bulat $(a_1, a_2, a_3)$ dengan $1 \le a_1,a_2,a_3\le 10$. Setiap tripel terurut di $S$ menghasilkan suatu barisan menurut aturan $a_n=a_{n-1}\cdot |a_{n-2}-a_{n-3}|$ untuk semua $n\ge 4$. Tentukan banyaknya barisan tersebut yang memiliki $a_n=0$ untuk beberapa $n$.

Misalkan $f(x)$ adalah polinomial derajat tiga dengan koefisien riil yang memenuhi $$|f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=|f(5)|=|f(6)|=|f(7)|=12.$$ Tentukan $|f(0)|$.

Segitiga $ABC$ memiliki panjang sisi bilangan bulat positif dengan $AB=AC$. Misalkan $I$ adalah perpotongan garis bagi $\angle B$ dan $\angle C$. Misalkan $BI=8$. Tentukan keliling terkecil $\Delta ABC$.

Pertimbangkan semua 1000 subset elemen dari himpunan $\{1,2,3,...,2015\}$. Dari setiap subset tersebut, pilih elemen terkecil. Rata-rata aritmatika dari semua elemen terkecil ini adalah $\frac{p}{q}$, dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat positif yang relatif prima. Tentukan $p+q$.

Dengan semua sudut diukur dalam derajat, hasil kali $\prod_{k=1}^{45}\csc^2(2k-1)^o=m^n$, di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat lebih besar dari $1$. Temukan $m+n$.

Untuk setiap bilangan bulat $n\ge 2$, misalkan $A(n)$ adalah luas daerah pada bidang koordinat yang ditentukan oleh pertidaksamaan $1\le x\le n$ dan $0\le y\le x \left\lfloor \sqrt{x} \right\rfloor$, dengan $\left\lfloor \sqrt{x} \right\rfloor$ adalah bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi $\sqrt{x}$. Tentukan banyaknya nilai $n$ dengan $2\le n\le 1000$ yang $A(n)$ merupakan bilangan bulat.

Sebuah balok kayu berbentuk silinder lingkaran siku-siku dengan jari-jari $6$ dan tinggi $8$, dan seluruh permukaannya telah dicat biru. Titik $A$ dan $B$ dipilih pada tepi salah satu sisi lingkaran silinder sehingga $\widehat{AB}$ pada sisi tersebut berukuran $120^o$. Balok tersebut kemudian dibelah dua sepanjang bidang yang melalui titik $A$, titik $B$, dan pusat silinder, sehingga terlihat sisi datar yang tidak dicat pada masing-masing bagiannya. Luas salah satu sisi yang tidak dicat tersebut adalah $a\cdot \pi +b\sqrt{c}$, dengan $a, b$, dan $c$ adalah bilangan bulat dan $c$ tidak habis dibagi kuadrat bilangan prima mana pun. Tentukan $a+b+c.$

Misalkan $N$ adalah bilangan bulat positif terkecil yang 22 persen lebih kecil dari satu bilangan bulat dan 16 persen lebih besar dari bilangan bulat lainnya. Tentukan sisa pembagian $N$ dengan 1000.

Di sekolah baru, 40 persen siswanya adalah mahasiswa baru, 30 persen mahasiswa tingkat dua, 20 persen mahasiswa tingkat tiga, dan 10 persen mahasiswa tingkat empat. Semua mahasiswa baru diwajibkan mengambil mata kuliah Bahasa Latin, dan 80 persen mahasiswa tingkat dua, 50 persen mahasiswa tingkat tiga, dan 20 persen mahasiswa tingkat empat memilih untuk mengambil mata kuliah Bahasa Latin. Probabilitas seorang siswa Bahasa Latin yang dipilih secara acak adalah mahasiswa tingkat dua adalah $\frac{m}{n}$, dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif yang relatif prima. Tentukan $m+n$.

Misalkan $m$ adalah bilangan bulat positif terkecil yang habis dibagi $17$ dan jika dijumlahkan semua digitnya akan menghasilkan $17$. Tentukan $m$.

Pada trapesium sama kaki, alas sejajarnya memiliki panjang $\log 3$ dan $\log 192$, dan tinggi alasnya adalah $\log 16$. Keliling trapesium dapat ditulis dalam bentuk $\log 2^p3^q$, dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat positif. Tentukan $p+q$.

Dua kotak satuan dipilih secara acak tanpa penggantian dari kisi kotak satuan berukuran $n\times n$. Temukan bilangan bulat positif terkecil $n$ sehingga peluang kedua kotak yang dipilih berdekatan secara horizontal atau vertikal kurang dari $\frac{1}{2015}$.

Budi berkata kepada Joko, "Saya sedang memikirkan sebuah polinomial yang akar-akarnya semua bilangan bulat positif. Polinomial tersebut berbentuk $P(x)=2x^3-2ax^2+(a^2-81)x-c$ untuk beberapa bilangan bulat positif $a$ dan $c$. Bisakah kamu memberi tahu saya nilai $a$ dan $c$?"

Setelah beberapa perhitungan, Joko berkata, "Ada lebih dari satu polinomial yang seperti itu".

Budi berkata,"Kamu benar, Ini adalah nilai $a$". Dia menuliskan bilangan bulat positif dan bertanya, "Bisakah kamu beritahuku nilai dari $c$?"

Joko berkata,"Masih ada dua kemungkinan nilai $c$."

Tentukan jumlah dua kemungkinan nilai $c$.

Segitiga $ABC$ memiliki panjang sisi $AB=12, BC=25$, dan $CA=17$. Persegi panjang $PQRS$ memiliki varteks $P$ pada $\overline{AB}$, titik sudut $Q$ pada $\overline{AC}$, dan titik sudut $R$ dan $S$ pada $\overline{BC}$. Jika panjang sisi $PQ=w$, luas $PQRS$ dapat dinyatakan sebagai polinomial kuadrat $$\text{Luas}(PQRS)=\alpha w-\beta \cdot w^2$$ Kemudian koefisien $\beta =\frac{m}{n}$, di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif yang relatif prima. Tentukan $m+n$.

Misalkan $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang memenuhi $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}$. Nilai maksimum $\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$ yang mungkin adalah $\frac{p}{q}$. Di mana $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat positif yang relatif prima. Tentukan $p+q$.

Sebuah tong silinder dengan jari-jari 4 kaki dan tinggi 10 kaki berisi air. Sebuah kubus pejal dengan panjang sisi 8 kaki dimasukkan ke dalam tong tersebut sehingga diagonal kubus tersebut vertikal. Volume air yang dipindahkan adalah $v$ kaki kubik. Tentukan $v^2$.

Sebut permutasi $a_1, a_2,..., a_n$ sebagai permutasi kuasi-naik jika terdapat $a_k\le a_{k+1}+2$ untuk setiap $1\le k\le n-1$. Misalnya, $54321$ dan $14253$ merupakan permutasi kuasi-naik dari bilangan bulat $1, 2, 3, 4, 5$, tetapi $45123$ bukan. Tentukan banyaknya permutasi kuasi-naik dari bilangan bulat $1, 2,..., 7$.

Lingkaran luar $\Delta ABC$ lancip berpusat di $O$. Garis yang melalui titik $O$ tegak lurus $\overline{OB}$ memotong garis $AB$ dan $BC$ masing-masing di titik $P$ dan $Q$. Lalu, $AB=5, BC=4, BQ=4.5$, dan $BP=\frac{m}{n}$, dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif yang relatif prima. Tentukan $m+n$.

Terdapat $2^{10}=1024$ kemungkinan rangkaian 10 huruf yang setiap hurufnya adalah $A$ atau $B$. Temukan jumlah rangkaian tersebut yang tidak memiliki lebih dari 3 huruf berdekatan yang identik.

Tentukan deret $a_1, a_2, a_3,...$ dengan $a_n=\sum_{k=1}^{n}\sin(k)$, di mana $k$ menyatakan ukuran radian. Tentukan indeks suku ke-100 yang memenuhi $a_n<0$.

Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan riil yang memenuhi $x^4y^5+y^4x^5=810$ dan $x^3y^6+y^3x^6=945$. Evaluasi $2x^3+(xy)^3+2y^3$.

Lingkaran $\mathcal{P}$ dan $\mathcal{Q}$ masing-masing memiliki jari-jari 1 dan 4, dan bersinggungan luar di titik $A$. Titik $B$ berada di $\mathcal{P}$ dan titik $C$ berada di $\mathcal{Q}$ sehingga garis $BC$ merupakan garis singgung luar persekutuan kedua lingkaran tersebut. Sebuah garis $\mathscr{l}$ melalui $A$ berpotongan lagi di $\mathcal{P}$ di $D$ dan berpotongan lagi di $\mathcal{Q}$ di $E$. Titik $B$ dan $C$ terletak pada sisi yang sama dari $\mathscr{l}$, dan luas $\Delta DBA$ dan $\Delta ACE$ sama besar. Luas persekutuan ini adalah $\frac{m}{n}$, dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif yang relatif prima. Tentukan $m+n$.