TryOut OSP 1

Penjumlahan $$\frac{1}{1\times 2 \times 3}+\frac{1}{2\times 3\times 3}+\frac{1}{3\times 4\times 5}+...+{1}{100\times 101\times 102}$$ dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}$, pecahan dalam bentuk paling sederhana. Tentukan $a+b$.

Tentukan nilai maksimum dari $\frac{1+\cos x}{\sin x + \cos x + 2}$, dimana $x$ berkisar pada semua bilangan real.

Misalkan $\tan \alpha$ dan $\tan \beta$ adalah dua solusi persamaan $x^2-3x-3=0$. Tentukan nilai dari $$\left| \sin^2\left( \alpha+\beta \right)-3\sin\left( \alpha+\beta \right)\cos\left( \alpha+\beta \right)-3\cos^2\left( \alpha+\beta \right) \right|$$ (Catatan: $|x|$ menunjukkan nilai absolut dari $x$)

Misalkan $a_1,a_2,a_3,a_4,...$ adalah barisan aritmatika dengan $a_1 > 0$ dan $3a_s=5a_{13}$. Misalkan $S_n=a_1+a_2+...+a_n$ untuk semua bilangan bulat $n\ge 1$. Temukan bilangan bulat $n$ sehingga $S_n$ memiliki nilai maksimum.

Jika $g(x)=\tan \frac{x}{2}$ untuk $0<x<\pi$ dan $f(g(x))=\sin 2x$, Temukan nilai dari $k$ sehingga $kf\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)=36\sqrt{2}$

Misalkan $g(x)$ adalah fungsi yang meningkat secara ketat yang didefinisikan untuk semua $x\ge 0$. Diketahui bahwa rentang $t$ yang memenuhi $$g(2t^2+t+5)<g(t^2-3t+2)$$ adalah $b<t<a$. Tentukan $a-b$

Gambar di bawah ini menunjukkan $8\times 9$ papan persegi panjang.

Ada berapa banyak kotak yang ada di persegi panjang di bawah?

Misalkan $a,b,c$ adalah bilangan positif riil sehingga $a+b+c=2013$. Tentukan nilai maksimum dari $\sqrt{3a+12}+\sqrt{3b+12}+\sqrt{3c+12}$.

Misalkan $A=\cos^2 10^o+\cos^2 50^o-\sin 40^o\sin 80^o$. Tentukan nilai dari $100A$.

Diasumsikan bahwa $a_i \in \{1,-1\}$ untuk semua $i=1,2,...,2013$. Tentukan bilangan positif terkecil dari ekspresi berikut $$\sum_{1\le i < j\le 2013}^{}a_ia_j$$.

Misalkan $f$ adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan real bukan nol sehingga $$\frac{27f(-x)}{x}-x^2f\left( \frac{1}{x} \right)=-2x^2,$$ untuk semua $x \neq 0$. Tentukan $f(3)$.

Pada gambar di bawah, $ABCD$ adalah persegi dengan $AB = 20$ cm (tidak digambar sesuai skala). Asumsikan $M$ adalah sebuah titik sehingga luas daerah yang diarsir adalah $40 \text{cm}^2$. Tentukan $AM$ dalam sentimeter.

Pada segitiga $ABC$, sebuah lingkaran melalui titik $A$, titik tengah $E$ dari $AC$, titik tengah $F$ dari $AB$ dan menyinggung sisi $BC$ di titik $D$. Misalkan $$\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}=4$$ Tentukan ukuran $\angle EDF$ dalam derajat.

Misalkan $a_1,a_2,a_3,...$ adalah urutan bilangan riil dalam suatu barisan geometri. Misalkan $S_n=a_1+a_2+...+a_n$ untuk semua bilangan bulat $n\ge 1$. Diasumsikan bahwa $S_{10}=10$ dan $S_{30}=70$. Tentukan nilai dari $S_{40}$.

Temukan banyaknya bilangan tiga digit yang merupakan kelipatan 3 dan dibentuk oleh angka-angka $0,1,2,3,4,5,6,7$ tanpa pengulangan.

Semua bilangan bulat positif yang koprima dengan 2012 dikelompokkan dalam urutan menaik sehingga kelompok ke-$n$ memiliki $2n-1$ bilangan. Jadi, tiga kelompok pertama dalam pengelompokan ini adalah $(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17)$. Diketahui bahwa 2013 termasuk dalam kelompok ke-$k$. Tentukan nilai dari $k$.

(Catatan: Dua bilangan bulat dikatakan koprima jika faktor persekutuan terbesarnya adalah 1.)

Angka $1,2,3,...,7$ dibagi secara acak menjadi dua subset yang tidak kosong. Probabilitas bahwa jumlah angka dalam dua subset tersebut sama adalah $\frac{p}{q}$, dinyatakan dalam suku terkecil. Tentukan $p+q$.

Temukan jumlah akar riil persamaan $\mathrm{\log}_{10}^{2}x-\left\lfloor \log_{10}x \right\rfloor -2=0$

(Catatan: $\left\lfloor x \right\rfloor$ menunjukkan bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi $x$.)

Pada segitiga $ABC,AB=AC,\angle A=90^o,D$ adalah titik tengah dari $BC$, $E$ adalah titik tengah dari $AC$ dan $F$ adalah titik pada $AB$ sehingga $BE$ memotong $CF$ di $P$ dan $B,D,P,F$ terletak pada lingkaran. Misalkan $AD$ memotong $CP$ di $H$. Diberikan $AP=\sqrt{5}+2$, temukan panjang dari $PH$.

Tentukan jumlah dari bilangan bulat positif $n$ tidak lebih dari 2013 sehingga $n^4+5n^2+9$ habis dibagi 5.

Dalam lingkaran $\omega$ yang berpusat di $O$, $AA'$ dan $BB'$ merupakan diameter yang saling tegak lurus sehingga titik $A,B,A',B'$ tersusun berlawanan arah jarum jam dalam urutan ini. Misalkan $P$ adalah sebuah titik pada busur minor $A'B'$ sehingga $AP$ memotong $BB'$ di $D$ dan $BP$ memotong $AA'$ di $C$. Misalkan luas segi empat $ABCD$ adalah $100$. Tentukan jari-jari dari $\omega$.

Suatu barisan $a_1,a_2,a_3,a_4,...,$ dengan $a_1=\frac{1}{2}$, didefinisikan oleh $$a_n=2a_na_{n+1}+3a_{n+1}$$ untuk semua $n=1,2,3,...$ Jika $b_n=1+\frac{1}{a_n}$ untuk semua $n=1,2,3,...$, temukan bilangan bulat terbesar $m$ sehingga $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\log_3b_k}\gt \frac{m}{24}$$ untuk semua bilangan bulat positif $n\ge 2$.

Temukan bilangan riil terbesar $p$ sehingga ketiga akar persamaan di bawah ini adalah bilangan bulat positif: $$5x^3-5(p+1)x^2+(71p-1)x+1=66p.$$

Misalkan $a,b,c,d$ adalah 4 bilangan bulat bukan nol yang berbeda sedemikian rupa sehingga $a+b+c+d=0$ dan bilangan $M=(bc-ad)(ac-bd)(ab-cd)$ terletak tepat di antara $96100$ dan $98000$. Tentukan nilai $M$.

Pada segitiga $ABC$, $AB=585, BC=520, CA=455$. Misalkan $P$, $Q$ adalah titik-titik pada sisi $BC$, dan $R\neq A$ adalah perpotongan garis $AQ$ dengan lingkaran luar $\omega$ dari segitiga $ABC$. Misalkan $PR$ sejajar dengan $AC$ dan lingkaran luar segitiga $PQR$ bersinggungan dengan $\omega$ di $R$. Tentukan $PQ$.