- Connor sedang memikirkan angka dua digit $n$, yang memenuhi sifat-sifat berikut:
– Jika $n > 70$, maka $n$ adalah bilangan kuadrat sempurna.
– Jika $n > 40$, maka $n$ adalah bilangan prima.
– Jika $n < 80$, maka jumlah digit $n$ adalah 14.
Berapakah angka Conor? - Misalkan $P(x) = x^2 + Ax + B$ untuk $A$ dan $B$ riil. Jika jumlah akar-akar $P(2x)$ adalah $\frac{1}{2}$ dan hasil kali akar-akar $P(3x)$ adalah $\frac{1}{3}$, tentukan $A + B$.
- Bilangan bulat positif $8833$ memiliki sifat $8833 = 88^2 + 33^2$. Temukan bilangan bulat positif empat digit (unik) lainnya $\overline{abcd}$ di mana $\overline{abcd} = (\overline{ab})^2 + (\overline{cd})^2$.
- Untuk bilangan bulat positif $n$, misalkan $f(n)$ adalah bilangan bulat terbesar $k$ sehingga $k! ≤ n$, misalkan $g(n) = n − (f(n))!$, dan untuk $j ≥ 1$ misalkan $$g^j(n)=\underset{j\text{ kali}}{\underbrace{g(…(g(n))…)}}$$ Temukan bilangan bulat positif terkecil $n$ sehingga $g^j(n) > 0$ untuk semua $j < 30$ dan $g^{30}(n) = 0$.
- Misalkan $$f(x)=(x+1)^6+(x-1)^5+(x+1)^4+(x-1)^3+(x+1)^2+(x-1)^1+1$$ Temukan sisa pembagian $\mathrm{\sum}_{j=-126}^{126}jf(j)$ di bagi $1000$.
- Bilangan bulat $a, b$ memenuhi sifat berikut: garis $y = 2x + ab$ melalui semua titik potong kedua parabola yang diberikan oleh $$y=x^2+2x+a,\text{ }y=2x^2+bx$$ yang berpotongan setidaknya sekali. Berapa banyak $(a, b)$ yang memenuhi $|ab| ≤ 100$?
- Misalkan $x_0, x_1, x_2,$ dan $x_3$ adalah bilangan kompleks yang membentuk persegi berpusat di 0 pada bidang kompleks dengan panjang sisi 2. Untuk setiap $0 ≤ k ≤ 3$, terdapat empat bilangan kompleks lagi, yaitu $z_{4k}, z_{4k+1}, z_{4k+2},$ dan $z_{4k+3}$, yang membentuk persegi berpusat di $x_k$ dengan panjang sisi $\sqrt{2}$. Diketahui $\mathrm{\prod}_{i=0}^{15}z_i$ adalah bilangan bulat positif, berapa banyak kemungkinan nilai yang dapat diambilnya?
- Hitunglah banyaknya bilangan bulat non-negatif $k < 2^{20}$ sehingga $\binom{5k}{k}$ ganjil.
- Misalkan $\mathbb{Q}_{≥0}$ adalah bilangan rasional non-negatif, $f : \mathbb{Q}_{≥0} → \mathbb{Q}_{≥0}$ sehingga $f(z + 1) = f(z) + 1, f(1/z) = f(z)$ untuk $z \neq 0$, dan $f(0) = 0$. Tentukan barisan $P_n$ bilangan bulat non-negatif secara rekursif melalui $$P_0=0,\text{ }P_1=1,\text{ }P_n=2P_{n-1}+P_{n-2}$$ untuk setiap $n\ge 2$. Tentukan $f\left( \frac{P_{20}}{P_{24}} \right)$.
- Terdapat pasangan polinomial unik $(P(x), Q(x))$ sehingga $$P(Q(x))=P(x)(x^2-6x+7)$$ $$Q(P(x))=Q(x)(x^2-3x-2)$$ Hitunglah $P(10)+Q(-10)$.
Keranjang Belanja