- Berapa banyak bilangan 4 digit yang memiliki tepat 9 pembagi dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ?
- Sebuah perusahaan pelayaran mengenakan biaya $0,30l + 0,40w + 0,50h$ dolar untuk memproses sebuah kotak berbentuk prisma persegi panjang siku-siku dengan dimensi $l,w,h$ dalam inci. Pelanggan sendiri diperbolehkan memberi label tiga dimensi kotak mereka dengan $l,w,h$ untuk tujuan menghitung biaya pemrosesan. Seorang pelanggan menemukan bahwa ada dua cara berbeda untuk memberi label dimensi kotak $B$ mereka untuk mendapatkan biaya sebesar 8,10 dolar, dan dua cara berbeda untuk memberi label $B$ untuk mendapatkan biaya sebesar 8,70 dolar . Tidak ada sisi $B$ yang berbentuk persegi. Temukan luas permukaan $B$, dalam inci persegi.
- Temukan bilangan bulat positif terkecil $N$ sehingga masing-masing dari 101 interval $$[N^2,(N+1)^2),[(N+1)^2,(N+2)^2),…,[(N+100)^2,(N+101)^2)$$ mengandung setidaknya satu kelipatan 1001.
- Misalkan $z$ adalah bilangan kompleks yang memenuhi persamaan $$\frac{z-4}{z^2-5z+1}+\frac{2z-4}{2z^2-5z+1}+\frac{z-2}{z^2-3z+1}=\frac{3}{z}.$$ Tentukan jumlah dari $$\left| \frac{1}{z^2-5z+1}+\frac{1}{2z^2-5z+1}+\frac{1}{z^2-3z+1}\right|.$$ atas semua kemungkinan nilai $z$.
- Grant berdiri di ujung lorong dengan banyak loker tak terhingga, bernomor 1, 2, 3, … Semua loker awalnya tertutup. Awalnya, ia memiliki himpunan $S = \{1, 2, 3, . . .\}$. Setiap langkah, untuk setiap elemen $s$ dari $S$, Grant melewati lorong dan membuka setiap loker yang habis dibagi $s$ yang tertutup, dan menutup setiap loker yang habis dibagi $s$ yang terbuka. Setelah ia melakukan ini untuk semua $s$, ia kemudian mengganti $S$ dengan himpunan label loker yang sedang terbuka, lalu menutup setiap pintu lagi.
Setelah 2022 langkah, $S$ memiliki $n$ bilangan bulat yang membagi $10^{2022}$. Temukan $n$. - Tentukan peluang suatu polinomial di $\mathbb{Z}_{2027}[x]$ yang berderajat paling banyak 2026 dipilih secara acak dan seragam, $$x^{2027}-x|P^k(x)-x \Longleftrightarrow 2021|k$$ (perhatikan bahwa 2027 adalah bilangan prima).
Di sini $P^k(x)$ menyatakan $P$ yang tersusun dengan dirinya sendiri sebanyak $k$ kali. - Misalkan $f(n)$ menghitung banyaknya nilai $0\le k\le n^2$ sehingga $43\nmid \binom{n^2}{k}$. Tentukan nilai positif terkecil dari $n$ sehingga $$43^{43}|f\left( \frac{43^n-1}{42} \right)$$
- Tentukan $c > 0$ terbesar sehingga untuk semua $n ≥ 1$ dan $a_1, . . . , a_n, b_1, . . . , b_n > 0$ kita mempunyai $$\sum_{j=1}^{n}\mathrm{a}_{j}^{4}\ge c\sum_{k=1}^{n}\frac{\left( \sum_{j=1}^{k}a_jb_{k+1-j} \right)^4}{\left( \sum_{j=1}^{k}\mathrm{b}_{j}^{2}j! \right)^2}$$
Keranjang Belanja