- Misalkan $x$ adalah bilangan riil sehingga $x^2 = 10x + 7$. Temukan pasangan bilangan bulat terurut unik $(m, n)$ sehingga $x^3 = mx + n$.
- Carilah bilangan riil unik $c$ yang sedemikian rupa sehingga polinomial $x^3 + cx + c$ mempunyai tepat dua akar riil.
- Sebut suatu bilangan “Sam-azing” jika bilangan tersebut sama dengan jumlah digitnya dikalikan dengan hasil perkalian digitnya. Hanya ada dua bilangan “Sam-azing” tiga digit, yaitu $n$ dan $n + 9$. Tentukan $n$.
- Untuk semua bilangan real $x$, misalkan $P(x) = 16x^3 − 21x$. Berapakah jumlah semua nilai $\tan^2\theta$ yang mungkin, jika diketahui bahwa $\theta$ adalah sudut yang memenuhi $$P(\sin \theta)=P(\cos \theta)?$$
- Misalkan $f(x)=2^x+3^x$. Untuk berapa banyak bilangan bulat $1 ≤ n ≤ 2020$ adalah $f(n)$ relatif prima terhadap semua $f(0), f(1), . . . , f(n−1)$?
- Temukan semua pasangan bilangan bulat $(x, y)$ yang $x ≥ 0$ dan $$(6^x-y)^2=6^{x+1}-y$$
- Hitunglah selisih positif antara dua solusi nyata persamaan berikut $$(x-1)(x-4)(x-2)(x-8)(x-5)(x-7)+48\sqrt{3}=0$$
- Misalkan $f:\mathbb{N}\to(0,\infty)$ memenuhi $\prod_{d|n}f(d)=1$ untuk setiap $n$ yang bukan bilangan prima. Tentukan jumlah maksimum $n$ yang mungkin dengan $1\le n\le 100$ dan $f(n)\neq 1$.
- Misalkan $p = 10009$ adalah bilangan prima. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat terurut $(x, y)$ sehingga $1 ≤ x, y ≤ p$ dan $x^3 − 3xy + y^3 + 1$ habis dibagi $p$.
- Kita menyebut polinomial $P$ ramah kuadrat jika polinomial tersebut monik, memiliki koefisien bilangan bulat, dan terdapat polinomial $Q$ yang mana $P(n^2) = P(n)Q(n)$ untuk semua bilangan bulat $n$. Kita katakan $P$ ramah kuadrat minimal jika polinomial tersebut ramah kuadrat dan tidak dapat ditulis sebagai hasil perkalian polinomial ramah kuadrat nonkonstan. Tentukan banyaknya polinomial ramah kuadrat minimal nonkonstan dengan derajat paling banyak 12.
Keranjang Belanja