- Dimulai dengan kisi 5 × 5, pilihlah sebuah kotak berukuran 4 × 4 di dalamnya. Kemudian, pilihlah sebuah kotak berukuran 3 × 3 di dalam kotak 4 × 4 , dan sebuah kotak berukuran 2 × 2 di dalam kotak 3 × 3, dan sebuah kotak berukuran 1 × 1 di dalam kotak 2 × 2. Dengan asumsi semua kotak yang dipilih terdiri dari kotak-kotak satuan di dalam kisi. Berapa banyak cara kotak-kotak tersebut dapat dipilih sehingga kotak 1 × 1 terakhir menjadi pusat kisi 5 × 5 awal?
- Deret bilangan bulat positif berbeda berpasangan disebut perata-rataan jika setiap suku setelah dua suku pertama merupakan rata-rata dari dua suku sebelumnya. Misalkan $M$ adalah jumlah suku maksimum yang mungkin dalam suatu deret perata-rataan di mana setiap suku kurang dari atau sama dengan 2022 dan misalkan $N$ adalah jumlah deret berbeda tersebut (setiap suku kurang dari atau sama dengan 2022) dengan tepat $M$ suku. Berapakah $M+N$? (Dua deret $a_{1},a_{2},…,a_{n}\text{ dan }b_{1},b_{2},…b_{n}$ dikatakan berbeda jika $a_{i}\neq b_{i}$ untuk suatu bilangan bulat $1\le i\le n).$
- Untuk acara kumpul keluarga, 8 orang memesan satu hidangan untuk masing-masing orang. Keluarga tersebut duduk mengelilingi meja bundar. Tentukan banyaknya cara untuk meletakkan hidangan agar hidangan setiap orang berada di sebelah kiri, kanan, atau tepat di depan mereka.
- Band Kiltie CMU sedang mencoba menjatuhkan helikopter dengan kait pengait. Helikopter mulai sejajar (sudut 0 derajat) dengan tanah. Setiap kali anggota band menarik kait, mereka memiringkan helikopter ke depan sebesar $x$ atau $x + 1$ derajat, dengan probabilitas yang sama, jika helikopter saat ini berada pada sudut $x$ derajat dengan tanah. Membuat helikopter miring hingga 90 derajat atau lebih akan menjatuhkan helikopter. Tentukan berapa kali band harus menarik kait agar helikopter jatuh.
- Di kantor pusat CMIMC, terdapat deretan $n$ bola lampu, yang masing-masing terhubung ke sakelar lampu. Daniel, sang tukang listrik, tahu bahwa salah satu sakelar tidak berfungsi, dan perlu mencari tahu sakelar yang mana. Setiap detik, ia dapat melakukan satu dari 3 hal berikut:
• Putar sakelar, ubah posisi bola lampu dari mati/nyala atau hidup/mati (kecuali sakelarnya rusak).
• Periksa apakah bola lampu tertentu menyala atau mati.
• Ukur total penggunaan listrik semua bola lampu, yang akan memberi tahu dia berapa banyak yang sedang menyala.
Awalnya, semua lampu mati. Daniel diberi tugas yang sangat sulit untuk menemukan sakelar yang rusak dalam waktu maksimal $n$ detik, tetapi untungnya dia tiba di kantor 10 detik lebih awal hari ini. Berapa nilai $n$ terbesar yang mungkin agar dia dapat menyelesaikan tugasnya tepat waktu? - Barry memiliki dadu standar berisi angka 1-6 di permukaannya. Dia melempar dadu terus menerus, mencatat jumlah angka yang telah dia lemparkan sejauh ini, mulai dari 0. Misalkan $E_{n}$ adalah jumlah waktu yang diharapkan yang dia butuhkan hingga jumlah yang tercatat setidaknya $n$. Ternyata terdapat bilangan real positif $a, b$ sehingga $$\lim_{n \to \infty} E_{n}-\left( an+b \right)=0$$ Tentukan $\left( a,b \right)$.
- Di dalam kelas yang berisi 12 siswa, tidak ada dua orang yang tingginya sama. Hitunglah jumlah total cara siswa untuk menyusun diri mereka dalam satu baris sehingga:
• untuk semua $1\le i\le 12$, orang di posisi ke-$i$ (dengan posisi paling kiri adalah 1) lebih tinggi daripada tepat $i$ (mod 3) tetangganya yang berdekatan, dan
• Siswa yang berdiri pada posisi kelipatan 3, tinggi badannya bertambah secara ketat dari kiri ke kanan. - Daniel memiliki setumpuk kartu standar (kebanyakan) yang terdiri dari 54 kartu, terdiri dari 4 jenis kartu yang masing-masing berisi peringkat 1 hingga 13 serta 2 kartu joker. Daniel memainkan permainan berikut: Ia mengocok setumpuk kartu secara acak dan kemudian mengambil semua kartu yang berada tepat di antara kedua kartu joker. Ia kemudian menjumlahkan peringkat semua kartu yang telah diambilnya dan menyebutnya sebagai skornya. Misalkan $p$ adalah probabilitas bahwa skornya merupakan kelipatan 13. Terdapat bilangan bulat positif yang relatif prima $a$ dan $b$, dengan $b$ sekecil mungkin, sehingga $\left| p-a/b \right|\lt 10^{-10}$ Apa itu $a/b$ ?
Keranjang Belanja