- Terdapat dua bilangan bulat positif yang berbeda, keduanya merupakan pembagi dari $10^{10}$, dengan jumlah sama dengan 157. Apakah kedua bilangan tersebut?
- Tentukan semua nilai $m + n$ yang mungkin, dimana $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $$\text{KPK}\left( m,n \right)-\text{FPB}\left( m,n \right)=103$$
- Untuk berapa kali lipat bilangan bulat positif ($a, b, c$) dengan $1 ≤ a, b, c ≤ 5$, maka kuantitas $$(a + b)(a + c)(b + c)$$ tidak habis dibagi 4?
- Misalkan $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ adalah bilangan bulat positif sehingga $a_1, a_2, a_3$ dan $a_3, a_4, a_5$ keduanya merupakan deret geometri dan $a_1, a_3, a_5$ merupakan deret aritmetika. Jika $a_3 = 1575$, temukan semua kemungkinan nilai $|a_4 − a_2|$.
- Kita dapat mendefinisikan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan rasional positif sebagai berikut: untuk $a, b, c,$ dan $d$ bilangan bulat positif dengan FPB($a, b$) = FPB($c, d$) = 1, tuliskan $$\text{FPB}\left( \frac{a}{b},\frac{c}{d} \right)=\frac{\text{FPB}\left( ad,bc \right)}{bd}$$ Untuk semua bilangan bulat positif $K$, misalkan $f$($K$) menyatakan banyaknya pasangan terurut bilangan rasional positif ($m, n$) dengan $m < 1$ dan $n < 1$ sehingga $$\text{FPB}\left( m,n \right)=\frac{1}{K}$$ Hitung $f\left( 2017 \right)-f\left( 2016 \right)$.
- Temukan bilangan bulat positif terbesar $N$ yang memenuhi sifat-sifat berikut:
– $N$ habis dibagi 7;
– Menukar digit ke-$i$ dan ke-$j$ dari $N$ (untuk sembarang $i$ dan $j$ dengan $i = j$) menghasilkan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 7. - Turunan aritmatika $D(n)$ dari bilangan bulat positif $n$ didefinisikan melalui aturan berikut:
– $D(1) = 0$;
– $D(p) = 1$ untuk semua bilangan prima $p$;
– $D(ab) = D(a)b + aD(b)$ untuk semua bilangan bulat positif $a$ dan $b$.
Temukan jumlah semua bilangan bulat positif $n$ di bawah 1000 yang memenuhi $D(n) = n$. - Misalkan $N$ adalah banyaknya tripel terurut $(a, b, c) ∈ \{1, . . . , 2016\}^3$ sehingga $a^2 + b^2 + c^2 ≡ 0$ (mod 2017). Berapakah tiga digit terakhir dari $N$?
- Temukan bilangan prima terkecil $p$ yang memiliki bilangan bulat positif $a, b$ sehingga $$a^2+p^3=b^4$$
- Untuk setiap bilangan bulat positif $n$, definisikan $$g(n) = \text{FPB}\{0!n!, 1!(n − 1)!, 2(n − 2)!, . . . , k!(n − k)!, . . . , n!0!\}.$$ Temukan jumlah semua $n ≤ 25$ yang memenuhi $g(n) = g(n + 1)$.
Keranjang Belanja