- Penghuni kebun binatang setempat adalah kelinci atau rubah. Rasio rubah dan kelinci di kebun binatang adalah 2:3. Setelah 10 rubah pindah dari kota dan setengah kelinci pindah ke Rabbitretreat, rasio rubah dan kelinci adalah 13:10. Berapa banyak hewan yang tersisa di kebun binatang?
- Untuk bilangan riil bukan nol $x$ dan $y$, definisikan $x\circ y = \frac{xy}{x+y}$. Hitunglah $$2^{1}\circ (2^{2}\circ ( 2^{3}\circ …\circ (2 ^{2016}\circ 2^{2017})))$$
- Misalkan $P\left( x \right)$ adalah polinomial kuadrat dengan koefisien integer yang memenuhi identitas $$P\left( P\left( x \right) \right)- P\left( x \right)^{2} = x^{2}+ x +2016$$ untuk semua $x$ riil. Berapakah $P(1)$?
- Diketahui bahwa konstanta matematika $e$ dapat ditulis dalam bentuk $e = \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+…$ Dengan mengingat hal ini, tentukan nilai $$\sum_{j=3}^{\infty }\frac{j}{\left\lfloor \frac{j}{2}\right\rfloor!}$$ Ekspresikan jawabanmu dalam bentuk $e$.
- Himpunan $S$ bilangan real positif $x$ sehingga $$\left\lfloor \frac{2x}{5} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{3x}{5} \right\rfloor+1=\left\lfloor x \right\rfloor$$ dapat ditulis sebagai $S=\mathrm{\bigcup}_{j=1}^{\infty }I_j$, di mana $I_i$ adalah interval terpisah yang berbentuk $[a_i,b_i)=\{x|a_i\le x < b_i\}$ dan $b_i \le a_{i+1}$ untuk semua $i\ge 1$. Tentukan $\mathrm{\sum}_{i=1}^{2017}(b_i-a_i)$.
- Misalkan $P$ adalah polinomial kuintik dengan koefisien real dengan $P(0) = 2$ dan $P(1) = 3$ sehingga $\left| z \right|=1$ kapanpun $z$ adalah bilangan kompleks yang memenuhi $P\left( z \right)=0$. Berapakah nilai terkecil yang mungkin dari $P(2)$ yang mungkin dari semua polinomial $P$ tersebut?
- Misalkan $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan kompleks yang memenuhi sistem persamaan $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}= 9,$$ $$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}= 32,$$ $$\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b}= 122,$$ Tentukan $abc$.
- Misalkan $a_{1},a_{2},…..a_{10}$ adalah bilangan bulat non negatif sehingga $$\sum_{k=1}^{10}a_{k}=15 \text{ dan }\sum_{k=1}^{10}ka_{k}=80$$ Misalkan $M$ dan $m$ masing-masing menyatakan nilai maksimum dan minimum dari $\sum_{k=1}^{10}k^{2}a_{k}$. Hitunglah $M-m$.
- Tentukan urutan $\mathrm{\{a_{n}\}}_{n=1}^{\infty}$ melalui $a_{1} = 1$ dan $a_{n+1}= a_{n}+ \left\lfloor \sqrt{a_n} \right\rfloor$ untuk semua $n\ge 1$ . Berapakah $N$ terkecil yang mungkin sehingga $a_{N} > 2017?$
- Misalkan $c$ menunjukkan bilangan riil terbesar yang mungkin sehingga terdapat polinomial non konstan $P$ dengan $$P\left( z^{2} \right)= P\left( z-c \right)P\left( z+c \right)$$ untuk semua $z$. Hitunglah jumlah semua nilai $P\left( \frac{1}{3} \right)$ atas semua polinomial non konstan $P$ yang memenuhi kendala di atas untuk $c$ ini.
Keranjang Belanja