- David, ketika mengajukan soal untuk CMIMC, menuliskan jawabannya sebagai 100$\frac{x}{y}$, di mana $x$ dan $y$ adalah dua bilangan bulat positif dengan $x < y$. Andrew mengartikan ekspresi tersebut sebagai perkalian dua bilangan rasional, sementara Patrick mengartikan jawabannya sebagai pecahan campuran. Dalam kasus ini, bilangan Patrick persis dua kali bilangan Andrew! Berapa nilai terkecil yang mungkin dari $x + y$?
- Misalkan $a_1, a_2,$ … merupakan deret bilangan bulat tak hingga sehingga $k$ membagi gcd($a_{k−1}, a_k$) untuk semua $k ≥ 2$. Hitunglah nilai terkecil yang mungkin dari $a_1 + a_2 + · · · + a_{10}$.
- Berapa banyak pasangan bilangan bulat ($a, b$) yang terdapat sedemikian rupa sehingga $0 ≤ a < b ≤ 100$ dan sedemikian rupa sehingga $\frac{2^b−2^a}{2016}$ merupakan bilangan bulat?
- Untuk beberapa bilangan bulat positif $n$, perhatikan faktorisasi prima yang biasa $$n=\prod_{i=1}^{k}\mathrm{p}{i}^{ei}=\mathrm{p}{1}^{e1}\mathrm{p}{2}^{e2}…\mathrm{p}{k}^{ek}$$ dimana $k$ adalah jumlah faktor prima dari $n$ dan $p_i$ adalah faktor prima dari $n$. Definisikan $Q$($n$), $R$($n$) dengan $$Q\left( n \right)=\prod_{i=1}^{k}\mathrm{p}{i}^{pi}\text{ dan }R\left( n \right)=\prod{i=1}^{k}\mathrm{e}_{i}^{ei}$$ Untuk berapa banyak $1 ≤ n ≤ 70$ $R$($n$) membagi $Q$($n$)?
- Tentukan jumlah bilangan bulat positif $n$ sehingga terdapat bilangan prima $p, q, r$ yang memenuhi $p^n+q^2=r^2$.
- Tentukan residu lezat dari $n$ sebagai bilangan bulat $1 < a < n$ sehingga terdapat bilangan bulat $m > 1$ yang memenuhi $$a^m \equiv a \text{ (mod n)}.$$ Temukan jumlah residu lezat dari 2016.
- Tentukan bilangan prima positif terkecil $p$ yang memenuhi kongruen $$p + p^{−1} \equiv 25 \text{ (mod 143)}.$$ Di sini, $p^{−1}$ seperti biasa menunjukkan invers perkalian.
- Diberikan $$\sum_{x=1}^{70}\sum_{y=1}^{70}\frac{x^y}{y}=\frac{m}{67!}$$ untuk suatu bilangan bulat positif $m$, carilah $m$ (mod 71).
- Hitunglah banyaknya bilangan bulat positif $n ≤ 50$ sehingga terdapat bilangan bulat positif berbeda $a, b$ yang memenuhi $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=n\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)$$
- Misalkan $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ adalah fungsi $$f\left( n \right)=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{\text{l}cm\left( k,n \right)^2}$$ Diketahui bahwa $f\left( 1 \right)=\frac{\pi^2}{6}$. Berapakah bilangan bulat positif terkecil $m$ yang mana $m\cdot f\left( 10 \right)$ adalah kuadrat dari kelipatan rasional $\pi$?
Keranjang Belanja