- Diketahui bahwa $\overline{ab}$ dan $\overline{cd}$ adalah dua bilangan yang hasil kalinya adalah 555. Jika $\overline{ab} < \overline{cd}$, maka nilai dari $a + b$ adalah …
- Misalkan f dan g fungsi linear yang memenuhi persamaan $$f(x + g(y)) = 7x + 4y + 12 \text{ untuk setiap bilangan real }x, y$$ Jika diketahui $g(7) = 5$, maka $g(−12 + f(4)) =$ …
Catatan: Fungsi linear adalah fungsi berbentuk $h(x) = ax + b$ dengan $a, b$ konstanta bilangan real. - Diberikan segitiga $ABC$ dengan panjang sisi $AB$ = 15, $AC$ = 14, $BC$ = 13. Diketahui bahwa terdapat sebuah segitiga sama sisi $PQR$ dengan $P, Q$ dan $R$ masing-masing terletak pada sisi $BC, CA$, dan $AB$ sehingga $PQ$ sejajar dengan $AB$.
Nilai $\frac{PQ}{AB}$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b + c\sqrt{d}}$, dengan $a, b, c, d$ adalah bilangan bulat positif, $d$ tidak habis dibagi bilangan kuadrat yang bernilai lebih dari satu, dan $FPB(a, b, c) = 1$. Nilai dari $a + b + c + d$ adalah … - Masing-masing petak pada papan berukuran 2025×3 akan diwarnai dengan salah satu dari warna hitam atau putih, sedemikian sehingga pada setiap sub-papan berukuran 2 × 2, terdapat masing-masing sebanyak ganjil petak bewarna hitam dan ganjil petak bewarna putih. Misalkan banyaknya cara pewarnaan petak yang mungkin adalah A. Sisa dari A ketika dibagi 1000 adalah …
- Banyaknya bilangan asli $a$ yang kurang dari 187 sehingga $FPB(a, 187) = 1$ dan $a^2 − 1$ bukan kelipatan dari 187 adalah …
- Pada persegi $ABCD$ dengan panjang sisi $\sqrt{2} + \sqrt{6}$, titik $X$ terletak pada diagonal $AC$ sehingga $AX > XC$. Garis bagi dalam sudut $AXB$ memotong sisi $AB$ pada titik $U$. Garis bagi dalam sudut $CXD$ memotong sisi $CD$ pada titik $V$.
Jika $\angle UXV = 150◦$, maka nilai dari $\left\lfloor 3\text{ x }UV^{2} \right\rfloor$ adalah …
Catatan: Notasi $⌊x⌋$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$. - Diberikan himpunan $S$ = 1, 2, . . . , 17. Misalkan $N$ adalah banyaknya pasangan terurut $(A, B)$ dengan $A, B$ himpunan bagian dari $S$ sehingga $\left| A\cap B \right|\le 2$. Nilai dari $\frac{N}{3^{15}}$ adalah …
Catatan: Notasi $|X|$ menyatakan banyaknya anggota himpunan $X$. - Misalkan $a, b, c$ merupakan bilangan-bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan $$ax^2 + bx + c \le (14x − 3)^2$$ untuk setiap bilangan real $x$. Nilai terkecil yang mungkin dari $a + 2b + 5c$ adalah …
- Diberikan bilangan real $C \le 2$. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real positif $x, y$ dengan $xy = 1$ berlaku ketaksamaan $$\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{c}{x+y}\ge 1+\frac{c}{2}$$
- Diberikan sebuah papan n × n yang terbagi menjadi petak-petak berukuran 1 × 1 yang kesemuanya berwarna putih. Aqua memilih beberapa buah petak dari papan ini, dan mewarnainya dengan warna hitam. Ruby kemudian meletakkan tepat satu buah domino berukuran 1×2 di papan, sehingga domino tersebut menutupi tepat dua buah petak di papan. Ruby dapat memutar domino tersebut menjadi domino 2 × 1. Setelah Aqua mewarnai, ternyata ada tepat 2024 cara bagi Ruby untuk meletakkan sebuah domino di papan sehingga domino tersebut menutupi tepat satu buah petak hitam dan satu buah petak putih. Temukanlah nilai $n$ terkecil yang mungkin sehingga Aqua dan Ruby dapat melakukan hal ini.
- Pada segitiga $ABC$, titik $X, Y$ dan $Z$ masing-masing merupakan titik tengah dari $BC, CA$ dan $AB$ berturut-turut. Garis sumbu $AB$ memotong garis $XY$ dan garis $AC$ berturut-turut pada $Z_1$ dan $Z_2$. Garis sumbu $AC$ memotong garis $XZ$ dan garis $AB$ berturut-turut pada $Y_1$ dan $Y_2$. Misalkan $K$ adalah titik sehingga $KZ_1 = KZ_2$ dan $KY_1 = KY_2$. Buktikan bahwa $KB = KC$.
- Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli $1 \le a, b \le 2027$ yang memenuhi $$2027 | a^6 + b^5 + b^2.$$
(Catatan: Untuk bilangan bulat $a$ dan $b$, notasi $a | b$ berarti terdapat suatu bilangan bulat $c$ sehingga $ac = b$).
Keranjang Belanja