- Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan sisi terpanjang $BC$. Titik $D$, $E$ berturut-turut pada $AC$, $AB$ sehingga $BA = BD$ dan $CA = CE$. Titik $A^′$ merupakan pencerminan $A$ terhadap garis $BC$. Buktikan bahwa lingkaran luar segitiga $ABC$ dan $A^′DE$ mempunyai panjang jari-jari yang sama.
- Tentukan semua fungsi $f: R → R$ sehingga untuk setiap bilangan real $x, y$ berlaku $f(f(x) + y) = ⌊x + f(f(y))⌋$.
Catatan: $⌊x⌋$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$. - Sebuah bilangan asli $n$ tertulis di papan. Pada setiap langkah, Neneng dan Asep mengubah angka di papan dengan peraturan sebagai berikut: Misalkan angka di papan adalah $X$. Awalnya, Neneng memilih tanda naik atau turun. Kemudian, Asep memilih suatu pembagi positif $d$ dan $X$, dan mengganti $X$ dengan $X + d$ jika Neneng naik, atau $X − d$ jika Neneng memilih turun. Prosedur ini dilakukan secara berulang. Asep menang jika bilangan di papan merupakan suatu bilangan kuadrat sempurna tak nol, dan kalah jika di suatu saat ia menuliskan angka nol.
Buktikan jika $n \ge 14$, Asep dapat menang dalam paling banyak $(n − 5)/4$ langkah. - Tentukan ada atau tidak bilangan asli $N$ yang memenuhi tiga syarat berikut:
✓ $N$ habis dibagi $2^{2023}$, tap tidak habis dibagi $2^{2024}$,
✓ $N$ hanya memuat tiga digit berbeda, dan $N$ tidak memiliki digit nol,
✓ Tepat 99,9% digit $N$ merupakan bilangan ganjil. - Misalkan $a, b$ bilangan asli sehingga FPB($a, b$) + KPK($a, b$) merupakan kelipatan $a + 1$. Jika $b \le a$, buktikan bahwa $b$ merupakan bilangan kuadrat sempurna.
Catatan: FPB($a, b$) dan KPK($a, b$) berturut-turut menyatakan faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil dari $a$ dan $b$. - Tentukan banyaknya permutasi $a_1, a_2, … , a_n$ dari $1, 2, … , n$ sehingga untuk setiap bilangan asli $k$ dengan $1 \le k \le n$, terdapat biangan bulat $r$ dengan $0 \le r \le n − k$ yang memenuhi $$1 + 2 + ⋯ + k = a_{r+1} + a_{r+2} + ⋯ + a_{r+k}.$$
- Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ACB = 90\circ$. Misalkan $\omega$ lingkaran luar $ABC$. Garis singgung terhadap $\omega$ di titik $B$ dan $C$ bertemu di $P$. Misalkan $M$ titik tengah $PB$. Garis $CM$ memotong $\omega$ di $N$ dan garis $PN$ memotong $AB$ di $E$. Titik $D$ pada $CM$ sehingga $ED$ || $BM$. Buktikan bahwa lingkaran luar $CDE$ menyinggung $\omega$.
- Diberikan tiga bilangan bulat positif berbeda $a, b, c$. Definisikan $S(a, b, c)$ sebagai himpunan semua akar rasional dari $px^2 + qx + r = 0$ untuk semua $(p, q, r)$ yang merupakan permutasi dari $(a, b, c)$. Sebagai contoh, $S(1, 2, 3) = {−1, −2, −\frac{1}{2}}$ karena persamaan $x^2 + 3x + 2 = 0$ memiliki akar −1 dan −2, persamaan $2x^2 +3x + 1 = 0$ memiliki akar −1 dan −12, sedangkan untuk permutasi yang lainnya persamaan kuadrat yang terbentuk tidak memiliki akar rasional.
Tentukan maksimum banyaknya elemen di $S(a, b, c)$.
Keranjang Belanja