- Tentukan semua fungsi $f: R → R$ sehingga untuk setiap $x, y \in R$ berlaku $f (f(f(x)) + f(y)) = f(y) − f(x)$.
- Diketahui $P(x)$ suku banyak dengan koefisien bilangan bulat yang memenuhi $P(1) = 10$ dan $P(−1) = 22$.
a. Berikan contoh $P(x)$ sehingga $P(x) = 0$ memiliki suatu akar bilangan bulat.
b. Jika $P(0) = 4$, tunjukkan bahwa $P(x) = 0$ tidak memiliki akar bilangan bulat. - Diberikan persegi panjang $ABCD$. Titik $E$, $F$ terletak pada diagonal $AC$ sehingga $F$ terletak diantara $A$, $E$ dan $E$ terletak di antara $C$, $F$. Lingkaran luar segitiga $BEF$ memotong $AB$ dan $BC$ pada $G$, $H$ dan lingkaran luar segitiga $DEF$ memotong $AD$ dan $CD$ pada $I$, $J$. Buktikan bahwa garis $GJ, IH$, dan $AC$ berpotongan di satu titik.
- Diberikan segi-26 beraturan. Tunjukkan bahwa untuk sembarang 9 titik sudut dari segi-26 tersebut, pasti ada tiga titik yang membentuk segitiga sama kaki.
- Diberikan bilangan asli $N \ge 2$ dan bilangan bulat $a_1, a_2, … , a_{N+1}$ sehingga untuk setiap indeks
$1 \le i \le j \le N + 1$ berlaku $a_ia_{i+1} … a_j \not\equiv 1 (\text{mod } N)$.
Buktikan bahwa terdapat indeks $i$ sehingga $gcd(a_i, N) \neq 1$. - Pada segitiga $ABC$, titik $D$ dan $E$ berada pada sisi $AB$ dan $AC$ berturut-turut sehingga $DE$ sejajar $BC$. Diketahui terdapat titik $P$ pada interior segiempat $BDEC$ sehingga $\angle BPD = \angle CPE = 90\circ$. Buktikan bahwa garis $AP$ melalui titik pusat lingkaran luar dari segitiga-segitiga $EPD$ dan $BPC$.
- Misalkan $A$ adalah suatu barisan bilangan nol dan satu. Barisan tersebut dapat diubah dengan melakukan operasi berikut: kita boleh memilih suatu blok atau sub-barisan bersambung (contiguous subsequence) di mana terdapat nol dan satu yang tidak sama banyaknya, dan membalik urutan bilangan di dalam blok tersebut (blok $a_1, a_2, … , a_r$ menjadi $a_r, a_{r−1}, … , a_1$).
Sebagai contoh, misalkan $A$ adalah barisan 1, 1, 0, 0, 1. Kita boleh memilih blok 1, 0, 0 dan membaliknya, sehingga barisan 1, 1, 0, 0 , 1 berubah menjadi 1, 0, 0, 1 , 1. Namun, kita tidak boleh memilih blok 1, 1, 0, 0 dan membalik urutannya karena mengandung 1 dan 0 yang sama banyaknya.
Dua barisan $A$ dan $B$ dikatakan berkerabat jika $A$ dapat diubah menjadi $B$ melalui sejumlah hingga operasi-operasi di atas.
Tentukan bilangan asli $n$ terbesar sehingga terdapat $n$ barisan berbeda $A_1, A_2, … ,A_n$ di mana setiap barisan terdiri dari 2022 bilangan dan untuk setiap indeks $i \neq j$, barisan $A_i$ tidak berkerabat $A_j$. - Tentukan bilangan real positif $K$ terkecil sehingga ketaksamaan $$K+\frac{a+b+c}{3}\ge (K + 1)\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$$ Berlaku untuk setiap bilangan real $0 \le a, b, c \le 1$.
Keranjang Belanja