- Pada papan tulis tertulis secara berurutan angka-angka berikut:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Andi harus menempatkan tanda + atau – di antara setiap dua angka yang berurutan dan menghitung nilai dari ekspresi yang dihasilkan. Sebagai contoh, Andi bisa menempatkan tanda + dan – sebagai berikut:
1 + 2 − 3 + 4 + 5 + 6 + 7 − 8 − 9 = 5
Tentukan bilangan positif ganjil terkecil yang tidak mungkin bisa diperoleh oleh Andi. - Diberikan segitiga lancip $ABC$. Titik $D$ dan $E$ berturut-turut merupakan titik tengah segmen $AB$ dan $AC$. Misalkan $L_1$ dan $L_2$ berturut-turut lingkaran luar segitiga $ABC$ dan $ADE$. Garis $CD$ memotong lingkaran $L_1$ dan $L_2$ pada $M(M \neq C)$ dan $N (N \neq D)$. Jika $DM = DN$, buktikan bahwa $ABC$ segitiga sama kaki.
- Sebuah bilangan asli disebut prima berpangkat jika bilangan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk $p^k$, dengan $p$ prima dan $k$ bilangan bulat positif. Tentukan nilai $n$ terbesar yang mungkin sehingga ada barisan bilangan prima berpangkat $a_1, a_2, … , a_n$ dengan $a_i = a_{i−1} + a_{i−2}$ untuk semua $3 \le i \le n$.
- Misalkan $x, y, z$ bilangan real positif dengan $x + y + z = 3$. Buktikan $$2\sqrt{x + \sqrt{y}} + 2\sqrt{y + \sqrt{z}} + 2\sqrt{z + \sqrt{x}} ≤ \sqrt{8 + x − y} + \sqrt{8 + y − z} + \sqrt{8 + z − x}$$
- Misalkan $P(x) = x^2 + rx + s$ polinomial dengan koefisien real. Diketahui $P(x)$ mempunyai dua akar real berbeda yang keduanya kurang dari −1 dan selisih akarnya kurang dari 2. Buktikan bahwa $P(P(x)) > 0$ untuk setiap bilangan real $x$.
- Di papan tulis dituliskan n bilangan asli. Pada setiap langkah kita dapat menghapus dua bilangan $a$ dan $b$ dan menggantinya dengan FPB$(a, b)$ dan KPK$(a, b)$ − FPB$(a, b)$. Buktikan semua bilangan dapat dibuat sama sebanyak berhingga langkah.
- Diberikan segitiga $ABC$ dengan lingkaran luar $l$. Titik $M$ berada di dalam segitiga $ABC$ sehingga $AM$ garis bagi $angle BAC$. Lingkaran dengan jari-jari $MB$ dan pusat $M$ memotong $l$ dan $BC$ berturut-turut di $D$ dan $E$ ($B \neq D$ dan $B \neq E$). Buktikan $AP$ garis bagi $\angle DPE$ jika dan hanya jika $\angle B = 90\circ$.
- Di sebuah papan catur berukuran 100 × 100, rencananya akan diletakkan papan-papan kecil berukuran 1 × 3 dan 3 × 1 sehingga:
(i) Setiap petak papan catur besar tertutup oleh paling banyak satu papan kecil.
(ii) Keseluruhan papan-papan kecil menutupi seluruh petak besar, kecuali satu buah petak.
(iii) Sisi-sisi papan kecil diletakkan sejajar dengan petak-petak papan besar.
Misalakan untuk melakukan intruksi di atas, dibutuhkan $H$ papan berukuran 1 × 3 dan $V$ papan berukuran 3 × 1. Tentukan semua pasangan ($H, V$) yang mungkin.
Keranjang Belanja