OSN SMA 2018

  1. Misalkan $a$ adalah bilangan bulat positif sehingga $$FPB(an+1,2n+1)=1$$ untuk setiap bilangan bulat $n$.
    (a) Tunjukkan bahwa $FPB(a-2,2n+1)=1$ untuk setiap bilangan bulat $n$.
    (b) Cari semua $a$ yang mungkin.
  2. Misalkan $\Gamma_{1}$ dan $\Gamma_{2}$ dua lingkaran yang bersinggungan di titik $A$ dengan $\Gamma_{2}$ di dalam $\Gamma_{1}$. Misalkan $B$ titik pada $\Gamma_{2}$ dan garis $AB$ memotong $\Gamma_{1}$ di titik $C$. Misalkan $D$ titik pada $\Gamma_{1}$ dan $P$ sebarang titik pada garis $CD$ (boleh pada perpanjangan segmen $CD$). Garis $BP$ memotong $\Gamma_{2}$ di titik $Q$. Tunjukkan bahwa $A,D,P,Q$ terletak pada satu lingkaran.
  3. Pada suatu permainan Andi dan komputer melangkah secara bergantian. Awalnya komputer menampilkan suatu polinom $x^{2}+mx+n$ dengan $m$, $n\in \mathbb{Z}$ yang tidak memiliki akar real. Andi kemudian memulai permainan tersebut. Pada setiap gilirannya, Andi mengganti polinom $x^{2}+ax+b$ yang muncul di layar dengan salah satu dari $x^{2}+(a+b)x+b$ atau $x^{2}+ax+(a+b)$. Andi hanya boleh memilih polinom pengganti yang akar-akarnya real. Sedangkan komputer pada setiap gilirannya menukar koefisien $x$ dan konstanta dari polinom yang dipilih Andi. Andi akan kalah jika dia tidak bisa melanjutkan langkahnya. Tentukan semua pasangan $(m,n)$ agar Andi pasti kalah.
  4. Cari semua tripel bilangan real $(x,y,z)$ yang memenuhi sistem persamaan
    $$\frac{1}{3}\min\{ x,y \}+\frac{2}{3}\max\{ x,y\}=2017$$
    $$\frac{1}{3}\min\{ y,z\}+\frac{2}{3}\max\{ y,z\}=2018$$
    $$\frac{1}{3}\min\{ z,x \}+\frac{2}{3}\max\{ z,x \}=2019$$
  5. Tentukan semua bilangan prima $p$ sehingga terdapat bilangan bulat positif $n$ yang mengakibatkan $2^{n}p^{2}+1$ merupakan bilangan kuadrat.
  6. Diberikan tiga ember kosong dan $n$ kelereng dengan $n \ge 3$. Ani dan Budi memainkan suatu permainan. Mula-mula Ani membagi $n$ kelereng ke semua ember sehingga setiap ember mendapat paling sedikit satu kelereng. Kemudian Budi menjalankan giliran pertama dan bergantian seterusnya bergantian dengan Ani. Pada gilirannnya seorang pemain boleh mengambil 1, 2 atau 3 kelereng hanya dari ember. Pemain yang mengambil kelereng terakhir menang. Tentukan semua $n$ sehingga Ani memiliki strategi menang (termasuk cara membagi kelereng di awal permainan sehingga Budi tidak mungkin menang).
  7. Misalkan $I$ dan $O$ masing-masing menyatakan titik pusat lingkaran dalam dan lingkaran luar dari segitiga $ABC$. Lingkaran singgung luar $\omega_{A}$ dari segitiga $ABC$ menyinggung sisi $BC$ di $N$ serta menyinggung perpanjangan sisi $AB$ dan $AC$ masing-masing di $K$ dan $M$. Jika titik tengah dari ruas garis $K M$ berada paada lingkaraan luar segitiga $ABC$, buktikan bahwa $O, I$ dan $N$ segaris.
  8. Alzim dan Badril bermain pada papan berbentuk segienam beraturan dengan 37 titik seperti pada gambar berikut. Pada setiap gilirannya, Alzim mewarnai satu titik yang belum berwarna dengan warna merah, sedangkan Badril mewarnai dua titik yang belum berwarna dengan warna biru. Permainan akan berakhir saat terdapat segitiga sama sisi merah (segitiga sama sisi dengan ketiga titik sudutnya berwarna merah) atau saat semua titik sudah terwarnai. Alzim akan menang jika terdapat segitiga sama sisi merah, sedangkan Badril akan menang jika tidak ada segitiga sama sisi merah saat permainan berakhir. Jika Alzim melangkah terlebih dahulu, apakah Alzim mempunyai strategi untuk selalu menang?
Keranjang Belanja
Scroll to Top