- Diberikan segiempat talibusur $ABCD$ dengan kedua diagonalnya saling tegak lurus dan berpotongan di titik $O$. Garis tegak lurus dari $O$ pada $AB$, memotong $AB$ di $E$. Garis tegak lurus dari $O$ pada $BC$, memotong $BC$ di $F$. Garis tegak lurus dari $O$ pada $CD$, memotong $CD$ di $G$. Garis tegak lurus $O$ pada $DA$, memotong $DA$ di $H$.
a. Buktikan bahwa $\angle EFG+\angle GHE=180\circ$
b. Buktikan bahwa $OE$ merupakan garis bagi sudut $FEH$ - Tentukan semua tripel bilangan asli $(a, b, c)$ dengan $b>1$ yang memenuhi $$2^c+2^{2016}=a^b.$$
- Terdapat 5 kotak yang disusun secara melingkar. Pada mulanya, terdapat satu kotak yang berisi satu bola, sementara kotak lainnya kosong. Pada setiap langkah, kita dapat melakukan salah satu dari dua operasi berikut:
i. pilih satu kotak yang tak kosong, hilangkan satu bola dari kotak tersebut dan tambahkan masing-masing satu bola ke kedua kotak yang bersebelahan dengan kotak tersebut,
ii. pilih satu kotak kosong yang bersebelahan dengan kotak yang tidak kosong, dari kotak yang tidak kosong tersebut pindahkan satu bola ke kotak yang kosong tadi.
Apakah mungkin, bahwa setelah beberapa langkah, diperoleh kondisi dimana setiap kotak berisi tepat $17^{5^{2016}}$ bola? - Misalkan dalam segitiga $ABC$ berlaku bahwa $$\frac{\cos A}{20}+\frac{\cos B}{21}+\frac{\cos C}{29}=\frac{29}{420}$$ Buktikan bahwa segitiga $ABC$ merupakan segitiga siku-siku.
- Diberikan bilangan bulat positif $a, b, c, d$ sehingga $a\mid c^d$ dan $b\mid d^c$. Buktikan bahwa $$ab\mid (cd)^{maks(a, b)}$$
- Diberikan segiempat $ABCD$ yang kedua diagonalnya tidak saling tegak lurus. Suatu persegi dikatakan fantastik jika masing-masing garis sisi persegi tersebut memuat tepat satu titik yang berbeda diantara $A, B, C, D$. Buktikan bahwa sebarang segiempat $ABCD$ memiliki paling sedikit 6 persegi fantastik.
Catatan: garis sisi adalah sisi dan perpanjangannya. - Misalkan $p > 2$ suatu bilangan prima. Untuk setiap bilangan bulat $k = 1, 2, … , p − 1$, didefinisikan $r_k$ sebagai sisa pembagian $k^p$ oleh $p^2$. Buktikan bahwa $$r_1 + r_2 + r_3 + ⋯ + r_{p−1} =\frac{p^2(p − 1)}{2}$$
- Tentukan dengan bukti, banyaknya permutasi $a_1,a_2,a_3,…,a_{2016}$ dari $1,2,3,…,2016$ sedemikian rupa sehingga nilai $|a_i-i|$ tetap untuk semua $i=1,2,3,…,2016$, dan nilainya merupakan kelipatan bilangan bulat $3$.
Keranjang Belanja