- Bilangan-bilangan 1, 2, …, 9 akan ditempatkan ke dalam papan catur berukuran 3 × 3. Mungkinkah bilangan-bilangan ini ditempatkan sehingga setiap dua persegi yang bertetangga baik secara bertikal ataupun horizontal, jumlah dari dua bilangan yang ada di dalamnya selalu prima?
- Misalkan $m, n$ bilangan asli sehingga sistem persamaan $$x + y^2 = m$$ $$x^2 + y = n$$ memiliki tepat satu solusi bulat $(x, y)$. Tentukan semua nilai yang mungkin bagi $m − n$.
- Diberikan trapesium $ABCD$ dengan $AB$ sejajar $CD$ dan $AB < CD$. Misalkan diagonal $AC$ dan $BD$ bertemu di $E$ dan misalkan garis $AD$ dan $BC$ bertemu di titik $F$. Bangun jajar genjang $AEDK$ dan $BECL$. Buktikan bahwa garis $EF$ melalui titik tengah segmen $KL$.
- Tentukan semua polinom dengan koefisien bulat $P(x)$ sehingga untuk setiap bilangan asli $a, b, c$ yang merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku, berlaku $P(a),P(b),P(c)$ juga merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.
Catatan: Jika $c$ sisi miring, $P(c)$ tidak harus merupakan sisi miring. - Suatu barisan bilangan asli $a_1, a_2, a_3,$ … memenuhi $a_k + a_l = a_m + a_n$ untuk setiap bilangan asli $k, l, m, n$ dengan $kl = mn$. Jika $m$ membagi $n$, buktikan bahwa $a_m \le a_n$.
- Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AD$ sebagai garis bagi dalam $\angle BAC$. Misalkan titik $M$ dan $N$ berturut-turut pada $AB$ dan $AC$ sehingga $\angle MDA = \angle ABC$ dan $\angle NDA = \angle ACB$. Jika $P$ merupakan titik potong dari garis $AD$ dan garis $MN$, buktikan bahwa $AD^3 = AB. AC. AP$.
- Misalkan $k, m, n$ merupakan bilangan asli dengan $k \le n$. Buktikan bahwa $$\sum_{r=0}^{m}\frac{k\binom{m}{r}\binom{n}{k}}{(r+k)\binom{m+n}{r+k}}=1$$
- Suatu bilangan asli disebut cantik jika dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{x^2+y^2}{x+y}$ untuk setiap suatu bilangan asli $x$ dan $y$ yang berbeda.
a). Tunjukkan bahwa 2014 dapat dituliskan sebagai perkalian bilangan cantik dan bilangan tidak cantik.
b). Buktikan bahwa hasil perkalian dua bilangan tidak cantik tetap tidak cantik.
Keranjang Belanja