- Perhatikan gambar dibawah ini!
Gambar di atas adalah gambar jaring – jaring dadu berbentuk kubus dengan panjang rusuk satu satuan. Misalkan $n$ bilangan asli dan $2n$ dadu tersebut disusun membentuk balok berukuran 1 x 2 x $n$ satuan dan diletakkan di lantai ( ada enam cara peletakan ). Misalkan $S$ adalah jumlah bilangan yang terlihat pada balok tersebut ( bagian bawah balok tidak terlihat ). Tentukan $n$ terkecil sedemikian sehingga terdapat penyusunan dadu – dadu membentuk balok dan peletakan dilantai yang memenuhi $S > 2011$. - Diberikan barisan bilangan $a_{0}, a_{1}, a_{2}, · · · , a_{2010}$ yang memenuhi $a_{0} = 1$ dan 2011 membagi $a_{k−1}a_{k}−k$ untuk $k = 1, 2, 3, · · · , 2010$. Buktikan bahwa 2011 juga membagi $a_{2010} + 1$.
- Misalkan $a, b$ dan $c$ adalah bilangan – bilangan real positif dengan sifat $abc = 1$. Jika diketahui bahwa $a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}< \frac{1}{a^{2011}}+\frac{1}{b^{2011}}+\frac{1}{c^{2011}}$. Buktikan bahwa, $$a+b+c< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$
- Diberikan segitiga sebarang $ABC$ dan misalkan lingkaran dalam segitiga $ABC$ menyinggung sisi $BC, CA$ dan $AB$ berturut – turut di titik $D, E$ dan $F$. Misalkan $K$ dan $L$ berturut – turut titik pada sisi $CA$ dan $AB$ sehingga $\angle EDK = \angle ADE$ dan $\angle FDL = \angle ADF$. Buktikan bahwa lingkaran luar segitiga $AKL$ menyinggung lingkaran dalam segitiga $ABC$.
- Untuk suatu bilangan 𝑛 yang dinyatakan dalam basis sepuluh, 𝑓(𝑛) didefinisikan sebagai jumlah dari semua bilangan yang diperoleh melalui mencoreti digit-digit yang mungkin dari 𝑛. Sebagai contoh untuk 𝑛 = 1234, 𝑓(𝑛) = 1234 + 123 + 124 + 134 + 234 + 12 + 13 + 14 + 23 + 24 + 34 + 1 + 2 + 3 + 4 = 1979. Sebab jika kita mencoret 0 digit kita memperoleh 1234, jika kita mencoret 1 digit kita memperoleh 123, 124, 134, 234, jika kita mencoret 2 digit kita memperoleh 12, 13, 14, 23, 24, 34, jika kita mencoret 3 digit kita memperoleh 1, 2, 3, 4 dan jika kita mencoret 4 digit kita memperoleh 0 yang tidak mempengaruhi jumlah 𝑓(𝑛).
Jika 𝑛 adalah bilangan yang terdiri dari 2011 digit, buktikan bahwa 𝑓(𝑛) − 𝑛 habis dibagi 9. - Untuk setiap bilangan asli 𝑛, didefnisikan $𝑆_𝑛$ sebagai banyaknya permutasi ($𝑎_1, 𝑎_2, 𝑎_3, … , 𝑎_𝑛$) dari (1, 2, 3, … , $𝑛$) sedemikian sehingga $$\frac{𝑎_1}{1}+\frac{𝑎_2}{2}+\frac{𝑎_3}{3}+ ⋯ +\frac{𝑎_𝑛}{𝑛}$$ merupakan bilangan asli. Buktikan bahwa $𝑆_{2𝑛} \ge 𝑛$ untuk setiap bilangan asli $𝑛$.
- Diberikan sebarang segitiga lancip $ABC$. Misalkan $𝑙_𝑎$ garis yang melalui $A$ dan tegak lurus $AB$, $𝑙_𝑏$ garis yang melalui $B$ dan tegak lurus $BC$, $𝑙_𝑐$ garis yang melalui $C$ dan tegak lurus $CA$. Misalkan garis $𝑙_𝑏$ dan $𝑙_𝑐$ berpotongan di titik $D$, garis $𝑙_𝑐$ dan $𝑙_𝑎$ berpotongan di titik $E$ dan terakhir garis $𝑙_𝑎$ dan $𝑙_𝑏$ berpotongan di titik $F$.
Buktikan bahwa luas segitiga $DEF$ paling sedikit tiga kali luas segitiga $ABC$. - Di sebuah pulau terdapat sepuluh kota, dimana kota – kota tersebut dihubungkan dengan ruas – ruas jalan. Ada 2 kota yang terhubung, ada juga yang tidak. Suatu rute yang dimulai dari suatu kota mengunjungi tepat 8 dari 9 kota lainnya masing – masing sekali dan kembali ke kota awal dinamakan rute wisata. Tentukan banyak ruas jalan minimal yang perlu untuk dibuat sehingga apabila diberikan sebarang kota di pulau tersebut, ada rute wisata yang tidak melewati kota tersebut.
Keranjang Belanja