Latihan Aini

1. Untuk sembarang bilangan prima $p$, barisan $\left\{ b_{n}|n = 1,2,3… \right\}$ dikatakan naik tingkat $p$ jika $$b_n < b_n+1 dan b_p{_n} = pb_n$$ untuk semua $n$. Buktikan jika $\left\{ b_n | n = 1,2,.. \right\}$ naik tingkat -$p$, maka untuk sebarang bilangan prima $q > \left( p – 1 \right) b_1 $, kelipatan $q$ muncul pada sejumlah suku barisan $\left\{ b_n | n = 1, 2,.. \right\}$
2. Diberikan segitiga lancip ABC, dengan panjang sisi-sisinya a, b, c; dan titik P didalamnya. Misalkan A_1, B_1, C₁ Berturut-turut titik potong antara garis lurus: BCP, CAP, ABP. Buktikan bahwa keliling K dari hexagon AB₁ CA₁ BC₁ memenuhi ketaksamaan: $$K \ge 2\left( \sqrt{ab} +\sqrt{bc} +\sqrt{ca}\right)$$
3. Untuk segitiga ABC sebarang, buktikan bahwa $$\sum_{}^{}\frac{1}{tan^{4 \frac{A}{2}}+ \left( tan \frac{B}{2}+tan \frac{C}{2}\right)} \lt \frac{8}{3}$$
4. Diketahui $S$ adalah segi 1001 beraturan. Tentukan banyaknya segi 102 konvek yang semua titik sudutnya adalah titik sudut $S$ dan memuat paling sedikit satu sudut lancip (jika perhitungan memuat $\sum_{}^{}$, hitung sampai tanpa $\sum_{}^{}$)