Untuk setiap bilangan bulat positif $n$, definisikan $f(n)$ sebagai jumlah pasangan terurut bilangan bulat positif $(x,y)$ di mana $x,y\le n$ sedemikian sehingga FPB dari $x,y$ dan $n$ sama dengan $1$. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan komposit $n$, $$f(n)\le n^2-n$$ dan tentukan semua bilangan bulat positif $n$ sedemikian sehingga kesamaan berlaku.

Misalkan $ABC$ adalah segitiga lancip dengan pusat lingkaran luar $O$. Misalkan $D$ dan $E$ adalah titik-titik pada lingkaran luar segitiga $ABC$ sedemikian sehingga $AD$ tegak lurus terhadap $BC$ dan $BE$ tegak lurus terhadap $CA$. Segmen $CD$ memotong lingkaran dengan diameter $DO$ di $P$, sedangkan segmen $CE$ memotong lingkaran dengan diameter $EO$ di $Q$. Buktikan bahwa $OP=OQ$.

Diberikan papan berukuran $2\times 25$. Beberapa label ditempatkan pada beberapa kotak berukuran $1\times 1$ dipapan dengan kriteria berikut:

(a) Label yang digunakan adalah bilangan bulat positif berurutan mulai dari $1$.

(b) Setiap kotak mendapat label maksimal $1$ dan setiap label digunakan tepat sekali.

(c) Kotak pada baris pertama dan kolom pertama diberi label $1$ dan label terakhir diberikan kepada kotak pada kolom ke-25.

(d) Dua kotak dengan label berurutan berbagi satu sisi.

(e) Untuk setiap $2\times 2$ kotak, terdapat kotak tanpa label.

Buktikan bahwa jumlah kemungkinan pemberian label sedemikian sehingga label terakhir berada di baris pertama sama dengan jumlah kemungkinan pemberian label sedemikian sehingga label terakhir berada di baris kedua.

Misalkan $(a_n)_{n\ge 1}$ dan $(b_n)_{n\ge 1}$ adalah barisan bilangan real positif sedemikian sehingga $a_1,b_1<5$ dan untuk setiap bilangan bulat positif $n$, $$a_{n+1}=\frac{b_n+\sqrt{a_nb_n}}{2}\text{ dan }b_{n+1}=\sqrt{\frac{a_n(a_n+b_n)}{2}}.$$ Buktikan bahwa $$|a_{20}-b_{20}<\frac{1}{2025}.$$

Misalkan $A_1,A_2,...,A_n$ adalah himpunan bagian dari $X={1,2,...,22}$, masing-masing dengan 15 elemen. Diketahui bahwa untuk setiap $B\subseteq X$ dengan $10$ elemen, terdapat $i,j \in {1,2,...,n}$ sedemikian sehingga $B\subseteq A_i \cap A_j$. Buktikan bahwa $n\ge 431$.

Misalkan $\mathbb{R}^+$ adalah himpunan bilangan real positif. Tentukan semua fungsi $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ sedemikian sehingga $$f(x+y)=\text{max}(f(x),y)+\text{min}(f(y),x)$$ untuk semua $x,y\in \mathbb{R}^+$.

Suatu bilangan bulat positif $n$ disebut $asri$ jika terdapat bilangan bulat positif $a$ dan $b$ sedemikian sehingga $$n=ab+20a+25b.$$

(a) Buktikan bahwa terdapat bilangan bulat bukan $asri$ positif yang lebih besar dari $20^{25}$.

(b) Buktikan bahwa terdapat bilangan bulat positif $26$ berurutan $asri$.

Misalkan $ABC$ adalah segitiga sedemikian sehingga $BC>CA$ dan $M$ adalah titik tengah dari $AB$. Lingkaran dalam segitiga $ABC$ menyinggung $BC,CA$, dan $AB$ di $D,E$ dan $F$ berturut-turut. Misalkan $DE$ dan $AB$ berpotongan di $G$. Titik $O$ adalah pusat lingkaran luar segitiga $FCG$ dan $OA$ berpotongan dengan lingkaran luar segitiga $FOG$ di $H(H\neq O)$. Jika $\angle OCB=90^o$, buktikan bahwa $MH$ menyinggung lingkaran luar segitiga $FOG$.

Diketahui $n^n+4n+3=16m$. Banyak bilangan bulat $n$ dimana $1\le n \le 110$ dan $m$ bilangan bulat adalah...

Bilangan bulat positif terkecil $n$ sehingga $n!$ habis dibagi 1430 adalah...

Perhatikan gambar berikut!

Diketahui $ABCD$ adalah sebuah trapesium dengan $AB||CD$ dan $\angle ADC=90^o$. Titik $E$ pada ruas garis $AD$ sehingga $BE=EC$. Jika $AB=22,CD=27$ dan $BC=25\sqrt{2}$, maka panjang $AE$ adalah...

Banyak himpunan bagian $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ yang memuat himpunan $\{1,2,3,4,5\}$ atau $\{4,5,6\}$ adalah...

Afif menuliskan sembilan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 18. Ia memastikan bahwa penjumlahan dua bilangan mana pun di antara sembilan bilangan tersebut tidak sama dengan 18. Bilangan positif yang pasti ditulis Afif adalah...

Koefisien suku $x^2$ dari penjabaran $(x+3)^n$ adalah 81$k$ untuk suatu bilangan asli $k$. Bilangan asli $k$ terkecil yang memenuhi syarat tersebut adalah...

Perhatikan gambar berikut!

Diketahui dua segitiga sama sisi $ABD$ dan $BCE$ dengan panjang sisi yang sama dan titik $A, B,$ dan $C$ kolinear. Titik $P$ dan $Q$ berturut-turut adalah titik pusat lingkaran luar segitiga $ABD$ dan titik pusat lingkaran luar segitiga $BCE$. Jika luas lingkaran luar segitiga $BPC$ adalah 126, maka luas lingkaran luar segitiga $BPQ$ adalah...

Perhatikan gambar berikut!

Diketahui persegi panjang $ABCD$ dengan titik $E,F$ pada $AD$ dan titik $G,H$ pada $BC$ sehingga $AF=BE=DG=HC=52$. Jika $AD=26$, dan $AB=64$, maka luas daerah yang diarsir yang dibatasi $AG,CE,BF$ dan $DH$ adalah...

Diketahui polinomial $P\left( 5^b+1 \right)=5^{5b}+4$ untuk semua bilangan asli $b$, maka nilai $P$(3) = ...

Banyaknya bilangan bulat $m$ sehingga memenuhi persamaan kuadrat $$x^2+mx+37=m$$ tidak mempunyai akar real adalah ...

Jika $FPB\left( 1+2+…+n,1^2+2^2+…+n^2 \right)\lt 100$, maka nilai maksmimum $n$ adalah...

Diketahui sebuah lingkaran pusat titik $O$ dan jari-jari 65. Titik $A,B,C$ merupakan 3 titik berbeda pada lingkaran tersebut dan titik $D,E,F$ berturut-turut merupakan titik tengah $BC,AC,AB$. Jika 2 ruas garis di antara $OD,OE,OF$ memiliki panjang 25 dan 39, maka panjang ruas garis yang ketiga adalah...

Digit-digit dari bilangan 6,7,8,...,$n$ dituliskan dari kiri ke kanan membentuk suatu bilangan baru $k$, nilai $n$ terkecil sehingga $k$ habis dibagi 7 adalah...

Misalkan $x,y,z\in\mathbb{R}^+$ dengan $$\frac{1}{1+x+y}+\frac{1}{1+y+z}+\frac{1}{1+z+x}=\frac{1}{4}$$ Jika nilai minimum dari $3x+5y+6z=A\sqrt{2}+B$, maka nilai $A+B$ adalah...

Banyak bilangan bulat berbeda pada barisan $\left\lfloor \frac{579}{1} \right\rfloor,\left\lfloor \frac{579}{3} \right\rfloor,\left\lfloor \frac{579}{5} \right\rfloor,…,\left\lfloor \frac{579}{579} \right\rfloor$ adalah ...

Diketahui persegi panjang $ABCD$ dan $E$ suatu titik pada sisi $AB$. Suatu benda bergerak dari titik $A$ dan berturut-turut menyentuh sisi $BC,CD,AD$ dan sampai titik $E$. Berikut diberikan sebuah contoh lintasan daru benda tersebut.

Jika diketahui bahwa $AB=60,AD=85$, dan jarak terpendek yang ditempuh oleh benda adalah $170\sqrt{2}$, maka panjang $AE$ adalah...

Banyak pemetaan $f:{1,2,3,4,5}\to {1,2,3,4,5}$ yang memenuhi persamaan $f\left( f\left( x \right) \right)=f\left( x \right)$ untuk setiap $x\in \{1,2,3,4,5\}$ adalah...

Suatu percobaan mengundi suatu dadu beberapa kali dan percobaan berhenti setelah muncul mata dadu lebih kecil 5 sebanyak dua kali. Banyak kemungkinan percobaan berhenti pada pengundian ke-5 atau sebelumnya adalah...

Hasil penjumlahan semua bilangan asli $n$ sehingga sistem persamaan $$\left\{ \begin{array}{cl}
nx +y=85 \\
2x+(n+1)y=30
\end{array} \right.$$ memiliki solusi bilangan bulat ($x,y$) adalah ...

Sebuah tabel terdiri atas dua baris dan 29 kolom. Tiap petak dicat hitam atau putih dengan aturan:

(a) Dua kolom bersebelahan tidak boleh memiliki jumlah petak hitam yang sama.

(b) Dua bujur sangkar 2 x 2 yang tumpang-tindih pada satu kolom tidak boleh memiliki jumlah petak hitam yang sama.

Banyaknya cara perwarnaan papan yang memenuhi aturan tersebut adalah...