LMNAS - KOMUNITAS JELAJAH NALAR

LMNAS 35 - SMA

Admin dot — Tue, 05 May 2026 06:28:35 +0000

Diberikan polinom $P(x)=x^{2}-4x+6$ Didefinisikam polinom $Q$ dengan $$Q(x)=P(P(x))-x.$$ Jumlahan semua akar real dari $Q$ adalah ...

a. 4

b. 5

c. 6

d. 7

e. 8
Bilangan $n$ adalah bilangan asli yang memenuhi persamaan $$\text{FPB}(n,2024)\times \text{KPK}(n,2024)=99176$$. Nilai $n$ terkecil yang memenuhi adalah...

a. 7

b. 14

c. 49

d. 84

e. 119
Banyak permutasi dari kata "LMNAS3516" adalah ...

a. 3628800

b. 362880

c. 36288

d. 403200

e. 40320
Diberikan segidelapan beraturan berikut.

Jika perbandingan luas segitiga $BCD$ dengan luas segiempat $ABEF$ dapat dinyatakan dengan $\frac{a-b\sqrt{2}}{c}$ di mana $a, b$ dan $c$ adalah bilangan bulat nonnegatif dengan $\text{FPB}(a,b)$ dan $c$ relatif prima, maka nilai dari $3a+5b+7c$ adalah

a. 16

b. 22

c. 29

d. 36

e. 39
Diberikan barisan geometri dengan suku-suku positif dan deret tak hingga dari barisan geometri tersebut adalah $S$, di mana $S\in\mathbb{R}$ Diketahui juga bahwa suku kedua dari barisan geometri tersebut bernilai 1. Nilai terkecil dari $S$ adalah ...

a. 4

b. 3

c. 2

d. 5

e. 6
Banyaknya triplet bilangan asli $(a, b c)$ yang memenuhi persamaan $abc-2=a+b+c$ adalah ...

a. 11

b. 10

c. 9

d. 15

e. 16
Umar memiliki sebuah string sebagai berikut

"LOMBAMΑΤΕΜΑΤΙΚΑNASIONALUNIVERSITASGADJAHMADA20242024"

Umar akan menghapus beberapa huruf dari string tersebut sehingga string akhir yang akan terbentuk adalah "MATH24". Banyak cara yang berbeda untuk membuang huruf-huruf yang ada sehingga terbentuk string "MATH24" adalah...

a. 124

b. 144

c. 260

d. 1616

e. 2024
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=35$ dan titik $D$ berada di lingkaran luar segitiga $ABC$ dengan $D$ berada di busur $AC$. Jika perpanjangan $BA$ dan perpanjangan $CD$ berpotongan di titik $E$ dengan $EA=16$ dan $ED=24.$ maka panjang segmen $ED$ adalah...

a. 31

b. 32

c. 33

d. 34

e. 35
Diketahui $a$ dan $b$ bilangan asli ganjil yang memenuhi $$(1+3+5+\cdot\cdot\cdot+35)+(1+3+5+\cdot\cdot\cdot+a)=(1+3+5+\cdot\cdot\cdot+b)$$ Nilai $a+b$ yang mungkin adalah...

a. 80

b. 82

c. 96

d. 162

e. 322
Diberikan bilangan bulat $n$ sedemikian sehingga $$n+2|n^{4}+2024$$. Maka banyaknya bilangan $n$ yang memenuhi adalah...

a. 8

b. 16

c. 32

d. 48

e. 64
Diberikan 2024 bola dengan 46 jenis warna yang berbeda, dengan 44 bola untuk setiap warna. Jika $n$ adalah bilangan asli terkecil sedemikian sehingga saat 2024 bola tersebut diletakkan secara melingkar, dengan cara apa pun, akan selalu ada $n$ bola bersebelahan yang memiliki setidaknya 35 warna yang berbeda, maka nilai dari $n$ adalah ...

a. 35

b. 1497

c. 1454

d. 1496

e. 2024
Diberikan kubus $ABCD.EFGH$. Misalkan titik $P$ merupakan titik tengah ruas garis $AC$. Nilai dari sin $∠FPH$ adalah ...

a. $\frac{1}{3}\sqrt{8}$

b. $\frac{1}{3}\sqrt{5}$

c. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$

d. $\frac{1}{3}$

e. $\frac{2}{3}$
Diberikan bilangan real positif $x, y$, dan $z$ dengan $xyz=\frac{1}{12}.$ Nilai minimum dari $$x^{2}+4y^{2}+9z^{2}+4x^{2}y^{2}+36y^{2}z^{2}+9z^{2}x^{2}$$ dapat dinyatakan sebagai $$3(\sqrt{\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{4a}})$$ dengan $a\in\mathbb{N}$ Nilai dari $a^{a}$ adalah ...

a. 1

b. 27

c. 256

d. 3125

e. 4
Sisa bagi dari pembagian $16^{1001}\times(100!)^{35}$ oleh $3535$ adalah...

a. 505

b. 595

c. 910

d. 2695

e. 3115
Jika $n$ menyatakan banyaknya cara untuk mendistribusikan 22 bola berbeda ke dalam 4 kotak identik sedemikian sehingga tidak ada kotak yang kosong, maka digit terakhir dari $n$ adalah ...

a. 0

b. 1

c. 5

d. 6

e. 9
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=20,$ $BC=22$, dan $CA=24$ Dimisalkan $\Gamma$ adalah lingkaran luar segitiga $ABC$ serta $l_{A}$, $l_{B},$ dan $l_{C}$ adalah garis-garis singgung lingkaran $\Gamma$ berturut-turut di titik $A, B,$ dan $C$. Dimisalkan juga $X, Y,$ dan $Z$ adalah titik-titik potong berturut-turut antara $l_{B}$ dengan $l_{C}$, $l_{A}$ dengan $l_{C}$, dan $l_{A}$ dengan $l_{B}$ Jika $$\frac{1}{AY}+\frac{1}{AZ}+\frac{1}{BX}+\frac{1}{BZ}+\frac{1}{CX}+\frac{1}{CY}=\frac{p}{q}$$ untuk suatu $p,q\in\mathbb{N}$ dengan $\text{FPB}(p,q)=1$, maka nilai dari $p+q$ adalah ...

a. 81

b. 161

c. 337

d. 601

e. 1129
Diberikan barisan $(x_{n})$ dengan $x_{1}=\frac{16}{35}$ dan $x_{n+1}=\frac{-x_{n}^{2}}{1+x_{n}+x_{n}^{2}}$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}.$ Jika $\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=\frac{p}{q}$ untuk suatu $p, q\in\mathbb{N}$ dengan $\text{FPB}(p,q)=1$, maka nilai dari $p+q$ adalah ...

a. 51

b. 67

c. 86

d. 1634

e. 1785
Diketahui bilangan asli $n$ yang memenuhi dua digit terakhir dari $n^{101}$ dalam basis 7 adalah 02. Bilangan asli $n$ terkecil yang memenuhi adalah ...

Contoh: $3^{5}$ dalam basis 7 adalah 465, sehingga dua digit terakhirnya dalam basis 7 adalah 65.

a. 4

b. 11

c. 18

d. 25

e. 32
Ferrari melakukan pelemparan koin seimbang sebanyak tak berhingga kali dan mencatatnya dalam kertas sihir untuk menghitung nilai $X$. Misalkan $Y_{n}\in\{0,1\}$ merepresentasikan hasil pelemparan ke-n dengan $$Y_{n}=\begin{cases}0, \text{jika hasil pelemparan adalah angka;}\\ 1, \text{jika hasil pelemparan adalah gambar}\end{cases}$$ Dari kertas sihir tersebut, nilai $X$ adalah $$X=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{Y_{n}}{2^{n}}=\frac{Y_{1}}{2}+\frac{Y_{2}}{2^{2}}+\frac{Y_{3}}{2^{3}}+....$$ Peluang nilai $X$ berada di interval $$ adalah ...

a. $\frac{702}{729}$

b. $\frac{351}{729}$

c. $\frac{673}{1024}$

d. $\frac{351}{512}$

e. $\frac{351}{1024}$
Diberikan dua buah segilima siklis $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ dan $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$, dimana $A_{i}$ adalah titik pusat lingkaran dalam segitiga $B_{i-1}B_{i}B_{i+1}$ (dengan $B_{0}=B_{5}$ dan $B_{6}=B_{1})$. Maka maksimal banyaknya garis yang dapat diambil dari garis-garis $A_{1}B_{1}$ $A_{2}B_{2}$ $A_{3}B_{3}$. $A_{4}B_{4}$, dan $A_{5}B_{5}$ sedemikian sehingga garis-garis yang dipilih berpotongan di satu titik adalah...

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5
Diberikan $$S=\sum_{u=0}^{\infty}\sum_{g=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(u+g+m+1)2024^{u+g+m+1}}.$$ Nilai $S$ dapat dinyatakan sebagai $\frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan asli yang relatif prima. Nilai dari $p+q$ adalah ...

a. 8199105

b. 4092530

c. 8197201

d. 8189105

e. 8187201
Banyaknya pasangan bilangan bulat $(n, m)$ sedemikian sehingga $1\le n
a. 99

b. 101

c. 198

d. 203

e. 205
Buma dan Kamna memainkan suatu permainan sebagai berikut: Terdapat 10 jenis kelereng yang memiliki warna berbeda-beda. Dengan masing-masing jenis kelereng memiliki jumlah yang sangat banyak.

• Pada babak pertama, Buma memilih 1 jenis kelereng dan Kamna memilih 9 jenis kelereng.

• Pada babak kedua, Buma memilih 2 jenis kelereng dan Kamna memilih 8 jenis kelereng.

• Permainan diteruskan sampai babak kesembilan, dengan Buma memilih 9 jenis kelereng dan Kamna memilih 1 jenis kelereng.

Jika mereka dapat memilih jenis kelereng yang sama, jumlah banyak cara berbeda mereka memilih jenis kelereng di setiap babak adalah...

a. 97238

b. 97240

c. 161616

d. 184754

e. 184756
Diberikan segiempat $ABCD$ dengan $\angle ABC=90^{\circ}$ dan panjang $AB=24$ $BC=7,CD=15,$ dan $DA=20$ Sebuah titik $P$ dipilih dari diagonal $BD$ sehingga $\angle APB=2\angle CPD$. Lalu titik $X$ dan $Y$ dipilih dari segmen $AP$ sehingga $\angle AXB=2\angle ADB$, $\angle AYD=2\angle ABD$. Panjang $XY$ adalah...

a. 6

b. 7

c. 8

d. 10

e. 12
Untuk setiap $x\in\mathbb{R}$ diketahui bahwa $$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k+1)!}=\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x^{2}}{\pi^{2}k^{2}})$$ Misalkan $S=\{(m,n)\in\mathbb{N}^{2}:FPB(m,n)=1\}$ Jika $$\sum_{(m,n)\in S}\frac{1}{m^{2}n^{2}}=\frac{a}{b}\pi^{c}$$ untuk suatu $a, b\in\mathbb{N}$ dan $c\in\mathbb{Z}$ dengan $\text{FPB}(a,b)=1$ maka nilai dari $a+b+c$ adalah...

a. 7

b. 11

c. 65

d. 125

e. 287

ISIAN SINGKAT

Diberikan $a, b, c$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan $$3a^{2}+2b^{2}+c^{2}+4ab+2ac+2bc=2(6a+5b+3c-7)$$. Nilai dari $a^{3}+2a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+abc+a+b+c$ adalah...
Banyak bilangan asli $n$ dengan $35\le n\le3516$ di mana sisa bagi $n^{4}-9$ oleh 15 merupakan 7 adalah ...
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC=17$ Titik $D$ berada di $AC$ dengan sifat $AB=CD$. Titik E dan F berturut-turut merupakan titik tengah dari $AD$ dan $BC$. Garis $AB$ memotong $EF$ di titik $P$ dan $AP=7.$ Jika panjang $CE=x.$ maka nilai dari $x+6$ adalah ...
Nilai dari $$csc^{2}(36^{\circ})+csc^{2}(72^{\circ})+csc^{2}(108^{\circ})+csc^{2}(144^{\circ})$$ adalah ...
Diberikan sebuah tabel berukuran $24\times24$ dimana setiap selnya akan diisi oleh salah satu bilangan di antara -1 atau 1. Jikan menyatakan banyaknya cara untuk mengisi tabel tersebut sedemikian sehingga jumlah semua bilangan pada setiap baris, kolom, dan diagonalnya adalah kelipatan 4, maka 2 digit terakhir dari $n$ adalah...

LMNAS 35 - SMP

Admin dot — Tue, 05 May 2026 04:12:19 +0000

Diketahui $\frac{3415}{2024}$ dapat dinyatakan dalam bentuk $a + \frac{1}{b + \frac{c}{d}}$ untuk suatu bilangan asli $a, b, c,$ dan $d$ di mana $c$ dan $d$ relatif prima. Nilai dari $a + b + c + d$ adalah...

a. 2024

b. 2025

c. 2026

d. 2027

e. 2028
Digit terakhir dari $2024^{3516}$ adalah...

a. 0

b. 2

c. 4

d. 6

e. 8
Rasyid memiliki 2 dadu enam sisi seimbang yang hanya memiliki sisi berwarna hitam atau putih. Dadu pertama memiliki 5 sisi berwarna hitam. Saat Rasyid melemparkan kedua dadunya secara bersamaan, peluang sisi yang muncul keduanya berwarna sama adalah $\frac{1}{2}$. Jumlah sisi berwarna putih pada dadu kedua adalah...

a. 2

b. 3

c. 4

d. 5

e. 6
Diberikan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $16\sqrt{3}$ cm. Panjang dari segmen $AG$ adalah...

a. 32

b. $16\sqrt{6}$

c. $16\sqrt{12}$

d. 48

e. $16\sqrt{3}$
Terdapat 9 kandang sebaris yang berisi burung-burung Kamna. Diketahui barisan banyaknya burung pada tiap kandang membentuk barisan aritmetika, dan pada kandang paling tengah terdapat 35 burung. Jumlah total semua burung Kamna adalah...

a. 265

b. 280

c. 295

d. 315

e. Tidak dapat ditentukan
Sebuah barisan dibuat dengan aturan:

- Angka 1 termasuk ke dalam barisan.

- Jika suatu bilangan termasuk ke dalam barisan, maka 5 kali bilangan tersebut juga termasuk ke dalam barisan.

- Jika suatu bilangan termasuk ke dalam barisan, maka bilangan tersebut di tambah 100 juga masuk ke dalam barisan.

- Tidak ada bilangan lain selain yang diperoleh dengan aturan diatas.

Apabila diurutkan dari terkecil ke terbesar, bilangan ke-2501 dalam barisan tersebut adalah...

a. 82501

b. 82505

c. 82525

d. 83301

e. 83305
Diberikan himpunan $A = \{1, 2, 3, \dots, 10\}$. Banyak cara memilih empat angka pada himpunan $A$ dengan syarat tidak ada dua angka yang berurutan dan jumlah keempatnya genap adalah...

Catatan: $a$ dan $b$ anggota $A$ dikatan berurutan jika memenuhi $|a-b|=1$.

a. 5

b. 8

c. 10

d. 15

e. 19
Diberikan jajargenjang $ABCD$ dengan $AB=5, AC=8,$ dan $BD=10$. Diketahui panjang segmen $BC$ dapat dinyatakan dalam bentuk $a\sqrt{b}$ dengan $a$ dan $b$ bilangan asli dan $b$ bebas kuadrat. Nilai dari $a+b$ adalah...

a. 58

b. 11

c. 57

d. 115

e. 114
Diberikan kurva $E : y^2 = x^3 + 17$. Untuk dua titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ dengan $x_1 \neq x_2$ pada kurva $E$ dapat dikenakan operasi $(x_1, y_1) \star (x_2, y_2)$ dengan konstruksi berikut:

(a) Bentuk garis $l$ yang melalui titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$;

(b) Garis $l$ (selalu) berpotongan dengan kurva $E$ pada satu titik yang berbeda dari dua titik pada (a), yaitu titik $(x'_3, y'_3)$;

(c) Cerminkan titik $(x'_3, y'_3)$ terhadap sumbu $x$ (garis $y = 0$) untuk memperoleh $(x_3, y_3) := (x_1, y_1) \star (x_2, y_2)$. Titik $(x_3, y_3)$ tetap berada pada kurva $E$.

Hasil dari $(-2, 3) \star (-1, 4)$ adalah …

a. (4, -9)

b. (4, 9)

c. (2, -3)

d. (2, 3)

e. (-4, 9)
Suatu bilangan dua digit dikatakan brain rot apabila kuadrat bilangan tersebut dikurangi dengan kuadrat bilangan yang diperoleh dengan membalikkan digit-digitnya adalah 2376. Jumlahan semua bilangan brain rot adalah . . .

Catatan : $\overline{0a}$ sama dengan bilangan satu digit $\overline{a}$.

a. 128

b. 120

c. 122

d. 126

e. 124
Banyaknya bilangan palindrom dari 0 sampai 2000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 9 adalah...

a. 24

b. 25

c. 26

d. 27

e. 28
Sebuah segitiga lancip memiliki panjang sisi 35, 16, dan $X$ (bilangan bulat). Jumlah dari nilai $X$ minimum dan $X$ maksimum yang mungkin adalah...

a. 51

b. 67

c. 70

d. 86

e. 102
Fungsi linear $f$ dan $g$ memenuhi $$g(2y + f(3x)) = 11x + 16y + 7$$ untuk setiap bilangan real $x$ dan $y$. Diketahui $f(24) = 12$, maka nilai dari $|g(g(g(0)))|$ adalah...

a. 71

b. 73

c. 75

d. 80

e. 81
Diberikan $a, b, c$ bilangan asli yang memenuhi $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < 1$. Nilai maksimum dari $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ ditulis sebagai $\frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ relatif prima. Nilai $p+q$ adalah...

a. 73

b. 57

c. 83

d. 47

e. 48
Banyaknya cara memilih string terurut "LM35" dari: $$\text{"LOMBALOMBALOMBA...(16 kali string "LOMBA")353535...(16 kali string "35")"$$ adalah...

Catatan: String terurut adalah string baru yang karakternya adalah sebagian dari karakter string awal dengan tetap memperhatikan urutan karakternya. Sebagai contoh, string $"M_1AT_1EM_2AT_2IKA”$ mempunyai string terurut $”MTK”$ sebanyak 3, yaitu $”M_1T_1K”, ”M_1T_2K”, ”M_2T_2K”$. Selanjutnya $”M_2T_1K”$ bukan string terurut dari string awal karena terjadi perubahan urutan.

a. 18496

b. 35164

c. 44444

d. 65536

e. 73984
Misalkan $\Gamma$ adalah lingkaran luar dari suatu segitiga lancip $\Delta ABC$. Garis $l_A, l_B, l_C$ adalah garis tinggi dari $\Delta ABC$ yang melewati titik $A, B, C$ berturut-turut. Diketahui bahwa $l_A, l_B, l_C$ memotong $\Gamma$ lagi di $D_1, E_1, F_1$ berturut-turut. Lebih lanjut, $l_A, l_B, l_C$ memotong $BC, CA, AB$ di $D, E, F$ berturut-turut. Diketahui juga luas segitiga $\Delta DEF$ adalah 2024. Luas segitiga $\Delta D_1 E_1 F_1$ adalah …

a. 2024

b. 8096

c. 10120

d. 6072

e. 4048
Banyaknya triplet asli $(x, y, z)$ yang memenuhi $$x^3+y+z = y^3+z+x = z^3+x+y < 2024$$ adalah...

a. 2024

b. 35

c. 13

d. 12

e. 16
Diberikan $a = 1^1 \times 2^2 \times 3^3 \times \dots \times 16^{16}$. Sisa pembagian $a$ oleh 34 adalah...

a. 14

b. 16

c. 18

d. 28

e. 30
Himpunan $L \subseteq \{1, 2, \dots, 2024\}$ sedemikian sehingga tidak ada $a, b \in L$ yang memenuhi $a = 2b$. Maksimal anggota $L$ adalah...

a. 1349

b. 1012

c. 1518

d. 1265

e. 1391
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle BCA < 90^\circ$, dan $AC = 60$. Titik $P$ terletak berseberangan dengan $A$ terhadap garis $BC$ sehingga $BP = CP$ dan $\angle BPC = 90^\circ$. Dengan cara yang sama, titik $Q$ terletak berseberangan dengan $B$ terhadap garis $AC$ sehingga $AQ = CQ$ dan $\angle AQC = 90^\circ$. Titik $R$ terletak pada bidang sehingga $CPRQ$ merupakan jajar genjang dan $AR = 35$. Nilai dari $BR$ adalah …

a. 30

b. 60

c. 35

d. 25

e. $30\sqrt{2}$
Bilangan real $p$ memiliki sifat rizz apabila persamaan $x^2 - 2x \lfloor x \rfloor + x - p = 0$ memiliki dua akar real nonnegatif yang berbeda. Diketahui $p$ memenuhi sifat rizz jika dan hanya jika $p$ berada pada interval $a \le p < b$. Nilai dari $a + 5b$ adalah …

Catatan: $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$.

a. 2

b. 5

c. 15

d. 1

e. 10
Diberikan pasangan bilangan bulat $(x, y)$ yang memenuhi persamaan berikut, $$x^3 - 7xy + y = 3$$Nilai maksimum $x+y$ adalah...

a. 3237

b. 3238

c. 3415

d. 3516

e. 3517
Di SMU Suzuran, terdapat 15 kelas yang masing-masing dipimpin oleh seorang ketua dan seorang wakil ketua. Untuk menghadapi aliansi sekolah-sekolah di kota Toarushi, dibentuk fraksi elit dengan memilih seorang pemimpin kelas secara acak dari setiap kelas satu persatu. Diketahui bahwa peluang tidak ada 2 kelas berurutan yang ketua kelasnya terpilih adalah $\frac{p}{q}$ untuk suatu bilangan asli $p$ dan $q$ yang relatif prima. Digit terakhir dari $p + q$ adalah...

a. 1

b. 2

c. 3

d. 5

e. 8
Diberikan segitiga $\Delta ABC$ dengan panjang $AB = 14, BC = 16$, dan $CA = 18$. Misalkan $PQRS$ adalah persegi panjang yang mana keempat titik sudutnya terletak di sisi-sisi $\Delta ABC$. Titik $Q$ dan $R$ terletak di sisi $BC$. Titik $P$ dan $S$ berturut-turut adalah titik tengah dari sisi $AB$ dan $AC$. Diketahui titik $X$ merupakan perpotongan $PR$ dan $QS$. Panjang $AX$ adalah …

a. $\sqrt{83}$

b. $\frac{1}{2}\sqrt{82}$

c. $\sqrt{422}$

d. $\frac{1}{2}\sqrt{421}$

e. $2\sqrt{109}$
Diketahui$$\sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} \frac{(-1)^k}{2k + 1} = \frac{p}{q}$$untuk suatu bilangan asli $p$ dan $q$ yang relatif prima. Tiga digit terakhir dari $p + q$ adalah …

a. 225

b. 280

c. 279

d. 256

e. 289

ISIAN SINGKAT

Adnan mempunyai banyak koin dan sebuah papan catur pada petak berukuran 8 × 8. Pertama, Adnan mengisi setengah papan dengan 1 koin di setiap petak, kemudian mengisi setengah dari tempat yang masih kosong dengan 2 koin di setiap petak, lalu setengah lagi dari tempat yang masih kosong dengan 3 koin di setiap petak dan seterusnya hingga papan catur tersisa 1 petak kosong. Jumlah koin yang ada di papan adalah . . .
Diketahui $K$ adalah bilangan bulat terbesar sehingga $35^K$ habis membagi $(2024!)^{2024!}$. Banyak digit 0 berurutan di akhir $K$ adalah . . .
Maslando mempunyai sebuah bilangan 2 digit, dimana digit pertama adalah A dan digit kedua adalah B. Maslando memberi tahu bilangan A kepada Buma dan bilangan B kepada Kamna. Karena penasaran, Buma dan Kamna saling menggali info. Berikut percakapan mereka:

Buma: “Aku yakin bilangan yang Maslando punya bukan bilangan kubik, apakah kau merasa begitu?”

Kamna: “Dari awal pun aku juga tahu bahwa bilangan tersebut bukan bilangan kubik. Selain itu aku juga tahu bahwa bilangan tersebut tidak bisa dibagi 2”

Buma: “Walaupun bukan bilangan kubik, mungkin saja bilangan itu adalah bilangan kuadrat!”

Kamna: “Itu tidak mungkin terjadi!”

Buma: “Sekarang aku tahu bilangan yang dimiliki Maslando. Bilangan tersebut akan bersisa 2 jika dibagi 3”

Kamna: “Ah… sekarang aku juga tahu.”

Dari percakapan diatas, jika Buma dan Kamna tidak berbohong dan berpikir secara logis, maka bilangan yang dimiliki Maslando adalah. . .
Diberikan $a, b, c$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan$$3a^2 + 2b^2 + c^2 + 4ab + 2ac + 2bc = 2(6a + 5b + 3c - 7).$$Nilai dari $a^3 + 2a^2b + a^2c + ab^2 + abc + a + b + c$ adalah…
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 6, BC = 4\sqrt{2},$ dan $CA = 2\sqrt{5}$. Garis $l$ menyinggung lingkaran luar segitiga $ABC$ pada titik $B$. Titik $D$ berada pada garis $l$ dengan sifat $AD \perp BD$ dan $E$ berada pada perpanjangan garis $CB$ dengan sifat $DE \perp CB$. Titik $F$ berada pada perpanjangan garis $DE$ dengan $\frac{DE}{EF} = \frac{1}{2}$. Titik $G$ yang merupakan perpotongan garis $CF$ dengan $BD$.Panjang garis $CG$ adalah $\frac{p}{q}\sqrt{r}$ dengan $p$ dan $q$ merupakan bilangan asli yang relatif prima dan $r$ merupakan bilangan asli bebas kuadrat. Nilai dari $p + q + r$ adalah …

LMNAS 36 - SMA

Admin dot — Tue, 05 May 2026 03:20:11 +0000

Diberikan fungsi $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dan $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yang memenuhi:$$4f(x + 3) + g(x) = 6,\text{ dan}$$ $$5f(x) - 7g(x) = 11,$$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}$. Diketahui nilai $f(0) = 5$, nilai dari $f(3)$ adalah ….

A. $0$

B. $1$

C. $6$

D. $11$

E. $28$
Untuk setiap bilangan asli $n$, misalkan $d(n)$ dan $d_1(n)$ berturut-turut menyatakan banyaknya pembagi positif $n$ dan banyaknya pembagi positif $n$ yang bersisa 1 ketika dibagi 3. Nilai dari $d(2431^{17}) - d_1(2431^{17})$ adalah ….

A. $0$

B. $1458$

C. $1944$

D. $2916$

E. $5832$
Misalkan $W$ adalah himpunan semua permutasi huruf dari "LMNAS". Didefinisikan fungsi $S: W \to {-1, 1}$ dengan $S(w) = 1$ jika "L" menempati posisi genap dalam $w$, dan $S(w) = -1$ jika "L" menempati posisi ganjil dalam $w$. Nilai dari $$\sum_{w \in W} S(w)$$ adalah ….

(Catatan: Posisi "L" pada "LMNAS" ada di posisi ganjil dan posisi "L" pada "MLNAS" berada di posisi genap.)

A. $0$

B. $-12$

C. $-24$

D. $12$

E. $24$
Diberikan lingkaran $L_1$ dengan pusat di titik $A(2, 2)$ dan memiliki jari-jari 2. Diketahui lingkaran $L_2$ adalah lingkaran yang diperoleh dengan menggeser lingkaran $L_1$ sejauh 3 satuan ke kanan dilanjutkan sejauh 2 satuan ke atas. Misalkan titik $B$ adalah titik pusat lingkaran $L_2$ dan titik $C$ adalah titik $(a, 0)$ dengan $a$ adalah absis dari titik $B$. Luas segitiga $ABC$ adalah ….

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

E. 7
Banyaknya solusi bilangan real $x$ yang memenuhi$$\max {2x^2 - x - 1, x^2 + x + 2} = 15x - 33$$adalah ….

Catatan: Diberikan $a, b \in \mathbb{R}$. Didefinisikan:$$\max {a, b} = \begin{cases} a, & a \ge b \ b, & b \ge a \end{cases}$$

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4
Misalkan $a, b, c$ bilangan bulat nonnegatif yang kurang dari 10 dengan $a \neq 0$, dan memenuhi:$$400a^2 + 40ab + 40ac + 2bc + b^2 + c^2 = 2025$$ Jumlah semua nilai $\overline{abac}$ yang memenuhi adalah ….

A. 12027

B. 13135

C. 13635

D. 14230

E. 15630
Banyaknya kuadrupel bilangan bulat $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ sedemikian sehingga:$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 17$$dengan syarat $0 \le x_1 \le 4$, $x_2 > 2$, $x_3 \ge 1$, dan $0 \le x_4 \le 3$ adalah ….

A. 140

B. 175

C. 210

D. 340

E. 560
Diberikan lingkaran $L$ berjari-jari 36 dengan titik pusat $O$ dan titik $A$ berada di luar lingkaran $L$. Misalkan titik $B$ berada pada lingkaran $L$ sedemikian sehingga $AB$ menyinggung lingkaran $L$, serta titik $C$ dan titik $D$ merupakan perpotongan garis $AO$ dengan lingkaran $L$ di mana titik $C$ berada pada segmen $AO$. Diketahui besar sudut $CAB$ adalah $30^\circ$. Luas segitiga $DOB$ adalah ….

A. $162\sqrt{3}$

B. $243\sqrt{3}$

C. $324\sqrt{3}$

D. $486\sqrt{3}$

E. $500\sqrt{3}$
Misalkan $v, w, x, y$ bilangan real yang memenuhi:$$v^2 + w^2 \le 4, \text{ dan}$$ $$x^2 + y^2 \le 9.$$ Nilai maksimal dari $vx + wy$ adalah ….

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6
Sisa dari$$1^{1117} + 2^{1117} + 3^{1117} + \dots + 100^{1117}$$ketika dibagi oleh 37 adalah ….

A. 18

B. 0

C. 36

D. 1

E. 26
Banyaknya bilangan ganjil enam digit $\overline{abcdef}$ yang memenuhi $b + c + d + e = 12$ adalah ….

A. $465$

B. $18.675$

C. $20.485$

D. $37.650$

E. $41.950$
Diberikan layang-layang $ABCD$ dengan tiga titik sudut yang diketahui adalah titik $A(-2, 5)$, $B(-3, 4)$, dan $C(-2, 2)$. Layang-layang tersebut dicerminkan terhadap garis $x = 1$ menghasilkan layang-layang $A'B'C'D'$. Misalkan titik $P$ merupakan titik potong antara garis $CD$ dengan garis $A'D'$ dan titik $Q$ adalah titik potong garis $CD$ dengan garis $x = 1$. Diketahui bahwa keliling segitiga $PQD'$ adalah $k$ dan luas layang-layang $ABCD$ adalah $l$. Nilai dari $\frac{l}{k}$ adalah ….

A. $\frac{8(\sqrt{2} + \sqrt{5})}{3}$

B. $\frac{3}{8(\sqrt{2} + \sqrt{5})}$

C. $\frac{3}{2(\sqrt{2} + \sqrt{5})}$

D. $\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}$

E. $\frac{24}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$
Diberikan polinomial $P(x)$ dengan derajat $2024$ dan diketahui $$P(k) = \frac{2027(k^2 - 2025k)}{k + 1}$$ untuk setiap $k = 1, 2, \dots, 2025$. Nilai dari $P(2026)$ adalah ….

A. 0

B. 2025

C. 2026

D 2027

E. 4052
Banyaknya pasangan bilangan bulat $(k, N)$ yang memenuhi persamaan:$$\left( \frac{k - 1}{k + 1} \right)^2 = \frac{1}{N}$$adalah ….

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5
Misalkan himpunan $\mathcal{W}$ adalah himpunan yang memuat semua susunan lima huruf yang dibentuk dari huruf-huruf ${L, M, N, A, S}$ dengan perulangan diperbolehkan. Didefinisikan berat dari kata $w \in \mathcal{W}$ sebagai $\frac{1}{k!}$, di mana $k$ adalah banyaknya huruf berbeda dalam kata $w$. Jumlah berat dari semua kata di $\mathcal{W}$ adalah ….

A. 52

B. 455

C. 456

D. 910

E. 912
Diberikan lingkaran $\omega_1$ yang melalui titik-titik $(2, 3)$, $(6, 5)$, dan $(4, 9)$. Misalkan lingkaran $\omega_2$ merupakan lingkaran yang diperoleh dengan menggeser lingkaran $\omega_1$ sejauh 1 satuan ke atas dilanjutkan 5 satuan ke kanan. Titik $(a, b)$ merupakan titik potong antara garis singgung lingkaran $\omega_2$ di titik $(9, 4)$ dengan garis yang melalui perpotongan kedua lingkaran. Nilai dari $a + b$ adalah ….

A. $\frac{37}{4}$

B. $\frac{49}{16}$

C. $\frac{99}{16}$

D. $\frac{149}{16}$

E. $\frac{301}{32}$
Misalkan $a, b, c$ adalah bilangan real yang memenuhi:$$a^2(c^2 - 2b - 1) + b^2(a^2 - 2c - 1) + c^2(b^2 - 2a - 1) = 0$$Nilai minimum dari$$3(a^2 + b^2 + c^2) + 4(a + b + c) - 6abc + 2025$$adalah ….

A. 2026

B. 2025

C. 2024

D. 2023

E. 2022
Diberikan bilangan asli $k$. Diketahui bahwa terdapat $k$ pasangan bilangan prima $(p, q)$ yang memenuhi:$$p^2 + 2p + 6q - 2pq + q^2 = (p - q)^3(p - q + 2)$$Misalkan $(m_1, n_1), \dots, (m_k, n_k)$ merupakan semua pasangan bilangan prima $(p, q)$ yang memenuhi persamaan di atas. Sisa dari$$\sum_{i=1}^{k} (m_i)^{n_i}$$ketika dibagi 21 adalah ….

A. 0

B. 1

C. 15

D. 18

E. 20
Suatu kuadrupel himpunan $(A, B, C, D)$ disebut Axon apabila memenuhi syarat berikut:

- $A \subseteq C$$B \subseteq D$$A \cap B = \emptyset$

- $A \cup B \cup C \cup D = {1, 2, \dots, 2026}$

Misalkan $m$ menyatakan banyaknya Axon. Dua digit terakhir dari $m$ adalah ….

A. 25

B. 44

C. 49

D. 56

E. 69
Diberikan garis $AC$ dan titik $B$ yang berada pada segmen $AC$ dengan $AB = 8$ dan $BC = 4$. Misalkan $\omega_1$ adalah lingkaran dengan diameter $AB$, $\omega_2$ adalah lingkaran dengan diameter $BC$, dan $\omega_3$ adalah lingkaran yang menyinggung garis $AC$ pada titik $B$. Diketahui bahwa $\omega_3$ berpotongan dengan $\omega_1$ dan $\omega_2$, selain pada titik $B$, berturut-turut pada titik $E$ dan titik $F$. Kemudian garis $EF$ memotong $\omega_1$ dan $\omega_2$ berturut-turut pada titik $G$ dan titik $H$. Misalkan garis $AG$ dan garis $CH$ berpotongan di titik $I$ serta titik $J$ pada garis $AI$ sehingga $CJ \perp AC$. Diketahui bahwa $\frac{BI}{CJ} = \frac{p}{q}$ dengan $\text{FPB}(p,q) = 1$. Nilai dari $p + q$ adalah ….

A. 3

B. 5

C. 7

D. 8

E. 9
Diberikan barisan polinomial $P_n(x)$ yang memenuhi:$$P_1(x) = 1, \quad P_2(x) = x, \quad P_{n+1} = xP_n(x) + P_{n-1}$$Derajat dari $\text{FPB}(P_{2025}, P_{1350})$ adalah ….

A. 1

B. 674

C. 675

D. 1349

E. 1350
Misalkan $m$ dan $n$ bilangan asli yang memenuhi $n < 2025$ dan$$n^2 - 16 = 7(m - 1)(m + 2)$$Nilai terbesar dari $n + m$ yang mungkin adalah ….

A. 5

B. 175

C. 1394

D. 2025

E. 2789
Saki bermain suatu permainan dengan aturan sebagai berikut. Permainan dimulai dengan Saki memiliki 1 poin. Saki akan melempar suatu dadu biasa. Jika angka yang muncul adalah 1, 3, 5, atau 6, maka poin yang dimiliki Saki akan dikali 2, kemudian Saki akan melempar dadu kembali. Akan tetapi, jika angka yang muncul 2 atau 4, maka poin yang dimiliki Saki akan kembali menjadi 1 dan Saki dinyatakan kalah. Permainan akan diulang kembali sampai Saki menang yaitu ketika poin Saki mencapai 4. Namun, permainan akan berakhir jika Saki kalah 3 kali berturut-turut. Misalkan peluang Saki menang sebelum permainan berakhir adalah $\frac{m}{n}$ dengan $\text{FPB}(m, n) = 1$. Nilai dari $m + n$ adalah ….

A. 106

B. 107

C. 108

D. 109

E. 110
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 5$, $AC = 10$, dan $BC = 11$. Misalkan titik $I$ adalah titik pusat lingkaran dalam segitiga $ABC$, titik $E$ adalah titik singgung lingkaran dalam segitiga $ABC$ dengan sisi $BC$, serta titik $D$ dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC$ dan $AB$ sedemikian sehingga titik $D$, $I$, dan $F$ segaris. Diketahui bahwa$$\frac{1}{BD} + \frac{1}{BF} = \frac{a}{b}$$untuk suatu bilangan asli $a$ dan $b$ dengan $\text{FPB}(a, b) = 1$. Nilai dari $a + b$ adalah ….

A. 92

B. 81

C. 66

D. 55

E. 37
Nilai dari$$\cot^4 \left( \frac{\pi}{11} \right) + \cot^4 \left( \frac{2\pi}{11} \right) + \cot^4 \left( \frac{3\pi}{11} \right) + \cot^4 \left( \frac{4\pi}{11} \right) + \cot^4 \left( \frac{5\pi}{11} \right)$$adalah ….

A. 111

B. 121

C. 131

D. 141

E. 151

ISIAN SINGKAT

Banyaknya tripel bilangan bulat $(x, y, z)$ yang memenuhi persamaan:$$2^x + 3^y = 4^z$$adalah ….
Bilangan asli terkecil $k$ sedemikian sehingga terdapat $k$ bilangan bulat nonnegatif $x_1, x_2, \dots, x_k$ yang memenuhi:$$x_1^3 - x_2^3 + x_3^3 - \dots + (-1)^{k+1}x_k^3 = 73224$$adalah ….
Diberikan bilangan asli $a$ dan $b$ dengan $\text{FPB}(a, b) = 1$ yang memenuhi:$$\frac{a}{b} = \sum_{\alpha=1}^{200} \frac{1 + 2\cos^2 \alpha - \sqrt{1 - 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}}{\alpha(\alpha + 1)}$$Nilai dari $a + b$ adalah ….
Diberikan segitiga lancip $\triangle ABC$ yang terletak pada lingkaran $\omega$, dengan panjang sisi $AB > AC$. Titik $M$ adalah titik tengah dari busur minor $\overline{BC}$ pada lingkaran $\omega$, titik $K$ adalah titik antipodal dari titik $A$ pada lingkaran $\omega$ dan titik $O$ adalah titik pusat lingkaran $\omega$. Dibuat sebuah garis yang melalui titik $O$ dan sejajar dengan garis $AM$. Garis tersebut memotong segmen $AB$ di titik $D$ dan memotong perpanjangan $CA$ di titik $E$. Misalkan garis $BM$ memotong garis $CK$ di titik $P$ dan garis $CM$ memotong garis $BK$ di titik $Q$. Diketahui bahwa besar $\angle OEB = 17^\circ$ dan $\angle OQC = 36^\circ$. Nilai dari $\angle OPB - \angle ODC$ adalah …. $^\circ$.

(Catatan tambahan: Busur minor $\overline{BC}$ adalah busur terpendek yang menghubungkan titik $B$ dan $C$ pada lingkaran $\omega$, yaitu busur yang tidak melalui titik $A$. Titik antipodal dari $A$ pada lingkaran $\omega$ adalah titik $K$ di $\omega$ sedemikian sehingga $O, A$, dan $K$ segaris dan $AK$ merupakan diameter lingkaran.)
Diberikan 2025 kartu yang berjejer secara horizontal dari kiri ke kanan dengan kartu ke-$i$ memiliki angka $i$ tertulis di bagian depan dan angka $0$ di bagian belakangnya. Untuk setiap $k \in {1, 2, \dots, 2025}$, kartu ke-$k$ dapat dibalikkan sehingga menunjukkan angka di belakangnya. Misalkan banyaknya cara membalikkan kartu-kartu tersebut sedemikian sehingga jumlah semua angka yang terlihat habis dibagi 5 dapat dinyatakan dalam bentuk:$$\frac{2^a + 2^b}{c}$$untuk bilangan asli $a, b$, dan $c$ dengan $\text{FPB}(c, 2) = 1$. Nilai dari $a + b + c$ adalah ….

Informasi Lomba

Admin dot — Fri, 10 Apr 2026 07:48:09 +0000

Lomba Matematika Nasional (LMNAS)

Lomba Matematika Nasional (LMNAS) UGM adalah kompetisi matematika bergengsi untuk siswa sekolah menengah (SMP/SMA) yang diselenggarakan Himpunan Mahasiswa Matematika UGM. LMNas terdiri dari empat babak, yaitu Babak penyisihan, Semifinal, Final, dan Grand Final. Babak penyisihan akan dilaksanakan secara daring melalui platform yang disediakan panitia. Babak Semifinal sampai Babak Grand Final akan dilaksanakan secara luring di FMIPA UGM.

Secara garis besar, materi yang dilombakan pada LMNas meliputi Aljabar, Geometri, Kombinatorika, dan Teori Bilangan. Materi lomba lebih lanjut dapat dilihat pada silabus LMNas. Peserta dapat mengikuti lomba pada jenjang yang ditempuh atau satu tingkat di atasnya. Sebagai contoh, siswa SMP atau sederajat dapat mengikuti LMNas 36 untuk jenjang SMA. Peserta yang pernah meraih juara satu, tidak diperbolehkan mengikuti LMNas pada jenjang yang sama, tetapi dapat mengikuti pada jenjang yang lebih tinggi. Peserta dengan peringkat selain juara satu dapat mengikuti kembali LMNas pada jenjang yang sama.

Info Penting LMNAS UGM:

Tujuan: Wadah penalaran matematis, sportivitas, dan peningkatan minat matematika.
Syarat: Untuk mendaftar LMNas perlu dipersiapkan kartu pelajar atau surat keterangan yang membuktikan bahwa peserta merupakan pelajar dari sekolah tersebut.
Tahapan Lomba: Babak Penyisihan (Daring), Semifinal, Final, dan Grand Final (Luring di FMIPA UGM).
Pendaftaran: Dilakukan secara online/kolektif melalui situs pendaftaran.lmnas-ugm.com.
Fitur: Terdapat promo untuk pendaftaran kolektif. Jika terdapat enam peserta dengan asal sekolah yang sama dan menggunakan satu akun, maka pendaftar hanya perlu membayar untuk lima orang dan berlaku kelipatan.
Setiap peserta yang mengikuti LMNas 36 akan mendapatkan sertifikat peserta sampai babak terakhir yang diikuti.