KTOM - KOMUNITAS JELAJAH NALAR

KTOM 2025 - Juli

Admin dot — Thu, 30 Apr 2026 02:42:07 +0000

BAGIAN A.

Terdapat dua lingkaran $Z_1$ dan $Z_2$ yang masing-masing berpusat di $O_1$ dan $O_2$ dan kedua lingkaran tersebut berpotongan di $A$ dan $B$. Titik $M$ dan $K$ terletak pada $Z_1$ sehingga $O_1M = O_1K$, titik $L$ dan $N$ terletak pada $Z_2$ sehingga $O_2L = O_2N$, dan titik $M, O_1, L, K, O_2, N$ segaris dalam urutan tersebut.Jika jari-jari $Z_1$ dan $Z_2$ berturut-turut adalah 3 dan 4, serta $O_1A$ menyinggung $Z_2$, maka hasil penjumlahan luas $\triangle MAN$ dan $\triangle KAL$ dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}$ dengan $\text{FPB}(a, b) = 1$. Tentukan nilai dari $a + b$.
Gilbert adalah ketua dari kelompok besar yang berisikan 9 laki-laki (termasuk Gilbert) dan 12 perempuan. Misalkan $M$ adalah banyak cara bagi Gilbert untuk membagi kelompok besar tersebut menjadi 7 kelompok kecil sehingga setiap kelompok berisikan tiga anak serta terdapat setidaknya satu laki-laki dan satu perempuan.Apabila $M$ dapat dinyatakan dalam bentuk $p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_i^{a_i}$, dengan $p_1, p_2, \dots, p_i$ adalah bilangan prima yang saling berbeda serta $a_1, a_2, \dots, a_i$ adalah bilangan asli, tentukan nilai dari $p_1 + p_2 + \dots + p_i + a_1 + a_2 + \dots + a_i$.
Diberikan $y = 6x$ dan $x^{2y} = y^{9x}$ untuk suatu bilangan real positif $x, y$. Jika $xy = 2^a \cdot 3^b$ untuk suatu bilangan bulat $a$ dan $b$, tentukan nilai dari $a + b$.
Diketahui $n$ adalah bilangan asli terkecil yang lebih besar dari 8 sehingga $2n^2 + 1$ bukan merupakan bilangan kuadrat sempurna. Untuk nilai $n$ tersebut, tentukan nilai $k \in \{1, 2, \dots, 2n\}$ yang memenuhi $n^2 + k \mid n^4$.
Diketahui persegi $ABCD$ dengan $AB = 6$ yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran $\Gamma$ yang berpusat di $O$. Titik $P$ terletak pada busur $CD$ yang tidak mengandung $A$ dan $P \neq C, D$.Garis $AP$ memotong $BD$ di titik $X$ dan perpanjangan garis $CP$ berpotongan dengan perpanjangan $BD$ di titik $Y$. Misalkan $M$ adalah titik tengah $XY$ dan $MP = PX$. Jika $BY = \sqrt{m} + \sqrt{n}$, tentukan nilai dari $m + n$.
Bilangan style adalah bilangan yang digitnya hanya tersusun oleh angka 3, 5, atau 7. Bilangan style disebut hearts jika setiap dua digit bersebelahan jumlahnya lebih kecil dari 11. Tentukan banyaknya bilangan style hearts 10 digit.Contoh: 3553 adalah bilangan style hearts, sedangkan 3577 bukan.
Diberikan bilangan real positif $a, b, c$ yang memenuhi$$\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c + 1} = \frac{3c + 2}{a + 2} + \frac{a}{2b + 2} + \frac{2b - 1}{3c + 3} = \frac{3}{2}$$Tentukan nilai dari $\frac{a + b}{c}$.
Dalam representasi desimal, suatu bilangan asli $a$ dikatakan gildur apabila terdapat bilangan asli $b$ sehingga dua digit terakhir dari $a + b$ sama dengan dua digit terakhir dari $ab$. Tentukan banyak bilangan asli gildur yang tidak lebih dari 100.Catatan: Apabila suatu bilangan hanya memiliki satu digit, digit puluhan dari bilangan tersebut dapat dianggap 0.
Diketahui segitiga $ABC$ dengan garis tinggi $CH$. Titik $M$ dan $N$ berturut-turut terletak pada $AC$ dan $BC$ sehingga $HM \perp AC$ dan $HN \perp BC$. Titik $X$ merupakan perpotongan $MN$ dengan $AB$ dan titik $Y$ merupakan perpotongan $NH$ dengan $AC$.Jika $CB = \sqrt{21}$, $AC = 4$, dan $AB = 5$, maka luas $\triangle CXY$ dapat ditulis sebagai $a\sqrt{b}$ dengan $b$ merupakan bilangan asli yang tidak habis dibagi bilangan kuadrat apapun selain 1. Tentukan nilai $a + b$.
Lima pemain basket Andi, Budi, Citra, Dian, dan Eka sedang bermain lempar bola. Pada awalnya bola ada di tangan Andi. Pada setiap lemparan, bola harus diberikan ke pemain lain. Jika $N$ adalah banyak cara setelah tepat 100 kali lemparan sehingga bola kembali ke Andi, tentukan tiga digit terakhir dari $N$.
Misalkan $A$ adalah himpunan bagian dari himpunan $\{1, 2, \dots, 15\}$. Kita sebut $A$ sebagai himpunan inspekulo apabila memenuhi kedua kondisi berikut:
- $A$ memiliki setidaknya 6 anggota,
- Terdapat permutasi dari $A$, sebut saja $\{a_1, a_2, \dots, a_i\}$, sehingga polinomial $P(x) = a_1x^{i-1} + a_2x^{i-2} + \dots + a_i$ memiliki setidaknya satu akar real.
Tentukan banyak himpunan yang inspekulo.
Tentukan jumlah semua bilangan asli $a$ sehingga persamaan $7an + 2n! = 2025$ memiliki solusi bilangan asli $n$.
Diberikan segitiga $ABC$. Garis singgung lingkaran luar $ABC$ di $C$ memotong garis singgung lingkaran luar $ABC$ di $B$ dan $A$ di $D$ dan $F$ berturut-turut. $AD$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ di $E$. Terdapat titik $G$ sehingga $\angle ABC = \angle CAF$, $\angle AFC = \angle FGC$, dan $AF \parallel BG$. Jika $\cos \angle EBC = \frac{1}{2}$ dan $\sin \angle BCE = \frac{3\sqrt{3}}{14}$. Apabila nilai $\frac{FG}{FC}$ dapat dinyatakan sebagai $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ dimana $a$ dan $c$ merupakan bilangan asli yang relatif prima, dan $b$ adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi bilangan kuadrat selain 1, maka tentukan nilai dari $a + b + c$.
Terdapat 10 titik $P_1, P_2, \dots, P_{10}$ di sebuah lingkaran. Tentukan banyak cara menggambar garis-garis yang menghubungkan dua titik sehingga satu titik terletak di maksimal satu garis dan tidak ada garis yang berpotongan dengan garis lainnya.
Diberikan $x, y, z$ bilangan real positif. Jika nilai minimum dari$$\frac{\sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{y^2 + 4z^2} + \sqrt{z^2 + 16x^2}}{9x + 3y + 5z}$$dapat dinyatakan sebagai $\sqrt{\frac{a}{b}}$ dimana $a$ dan $b$ merupakan bilangan asli dengan $a$ tidak habis dibagi bilangan kuadrat selain 1, tentukan nilai dari $a + b$.
Carilah jumlah dari seluruh bilangan asli $n>1$ sehingga $2n-3|1+15\cdot (n!)^2$.

BAGIAN B.

Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan titik $I$ dan $G$ berturut-turut adalah titik pusat lingkaran dalam dan titik berat dari segitiga $ABC$. Misalkan $I \neq G$ dan $IG$ sejajar dengan $BC$. Misalkan juga $r$ adalah panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga $ABC$.

(a) Buktikan bahwa jarak titik $G$ ke $BC$ adalah $r$ satuan panjang.

(b) Buktikan bahwa jarak titik $A$ ke $BC$ adalah $3r$ satuan panjang.

(c) Buktikan bahwa $AB + AC = 2BC$.

(d) Buktikan bahwa $BC^2 > AB \cdot AC$.
Kevin berjalan di bidang kartesius, ia memulai dari titik $(0,0)$ dan ingin berkunjung ke rumah makan yang terletak di titik $(2025, 2025)$. Dalam satu langkah, jika Kevin awalnya terletak di $(x,y)$, ia dapat bergerak ke $(x-1, y)$, $(x, y+1)$, atau $(x+1, y-1)$, dengan syarat bahwa Kevin tidak boleh mengambil dua langkah yang sama berurutan. Tentukan banyaknya langkah minimal sehingga Kevin dapat mengunjungi rumah makan tersebut.
Definisikan $C$ sebagai himpunan seluruh pasangan bilangan real $(x, y)$ yang memenuhi $x^2 + y^2 = 1$. Apakah terdapat setidaknya sebuah tupel bilangan real $(a, b, c, d)$ yang memenuhi kedua kriteria berikut sekaligus?

(a) $a^2 + b^2 = c^2 + d^2$.

(b) Tidak terdapat fungsi bijektif $T: C \to C$ sehingga untuk setiap pasangan $(x, y) \in C$, jika $T(x, y) = (x_1, y_1)$, maka $ax + by = cx_1 + dy_1$.
Tentukan semua bilangan real $r$ sehingga terdapat bilangan real positif $d$ yang memenuhi: Untuk sembarang $i \ge 0$, terdapat bilangan asli $j$ yang memenuhi $$1 + r + \dots + r^i = \frac{d}{1} + \frac{d}{2} + \dots + \frac{d}{j}$$

KTOM 2025 - Juni

Admin dot — Thu, 30 Apr 2026 02:27:24 +0000

Dalam rangka memperingati HUT KTOM ke-10, SMA KTOM mengadakan lomba cerdas cermat. Wali kelas akan memilih 3 murid secara acak dari kelas 1-A, yang terdiri dari 10 laki-laki dan 9 perempuan, untuk mengikuti lomba tersebut. Jika $\frac{p}{q}$ ialah peluang setidaknya ada satu laki-laki dan satu perempuan yang dipilih, dengan $p$ dan $q$ merupakan bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $p + q$.
Tentukan faktor prima terkecil dari $21^4 + 21^2 + 1$.
Diberikan sebuah segiempat $ABCD$ dengan panjang sisi 2. Titik $M$ adalah titik tengah $AB$. Titik $E$ adalah proyeksi titik $C$ ke $DM$. Jika panjang $CE$ adalah $\frac{p}{\sqrt{q}}$ dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $p + q$.
Misalkan $S$ adalah himpunan bilangan asli faktor dari $10!$ yang memiliki angka satuan 1. Hitunglah jumlah dari seluruh anggota dari $S$.
Diberikan trapesium siku-siku $ABCD$ dengan $BC = 24$, $CD = 8$, $AD = 26$, dan $\angle ABC = \angle BCD = 90^\circ$. Titik $X$ terletak pada $CD$ sehingga $\angle DAC = 2\angle DAX$. Jika panjang $CX$ dapat ditulis sebagai $\frac{m}{n}$, di mana $m, n$ merupakan bilangan asli yang saling relatif prima, tentukan nilai $m + n$.
Misalkan $Q(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$ adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat taknegatif. Jika $Q(1) = 5$ dan $Q(5) = 153$, tentukan nilai dari $Q(7)$.
Diberikan belah ketupat $ABCD$. Lingkaran dengan diameter $AB$ dan $AD$ masing-masing memotong $BC$ dan $CD$ di titik $K$ dan $L$. Jika $\angle AKL = \angle ABC$, tentukan besar $\angle BCD$.
Didefinisikan $\tau(n)$ sebagai banyaknya faktor positif dari $n$, misalnya $\tau(1) = 1$ dan $\tau(6) = 4$. Misalkan dua solusi bilangan asli terkecil terhadap persamaan$$\tau(n) + \tau(3n) = 404$$adalah $a < b$, tentukan nilai dari$$\left \lfloor \frac{2025a}{b} \right \rfloor$$
Saka menulis semua kata yang merupakan permutasi huruf dari kata INFILTRAT, lalu mengurutkan semua kata tersebut berdasarkan sistem alfabet (dari A ke Z). Pada kata ke-2025, misalkan $m$ dan $n$ adalah letak huruf I pertama dan I kedua dari kiri berturut-turut pada kata tersebut (Sebagai contoh, letak huruf I pertama dan I kedua dari kiri berturut-turut pada kata INFILTRAT adalah ke-1 dan ke-4). Tentukan nilai dari $10m + n$.
Nora akan bermain batu-gunting-kertas beberapa ronde melawan sebuah komputer. Pada setiap rondenya, Nora dan komputer memilih batu, gunting, atau kertas secara bersamaan. Diketahui bahwa batu mengalahkan gunting, gunting mengalahkan kertas, dan kertas mengalahkan batu.Namun, komputer ini diprogram untuk tidak mengeluarkan dua pilihan yang sama secara berturut-turut, dan peluang untuk tiap pilihannya itu acak dan adil. Pemain yang menang dalam tiap rondenya mendapatkan 2 poin, yang kalah mendapatkan 0 poin, sedangkan jika pilihan mereka sama, maka masing-masing dari mereka akan mendapatkan 1 poin.Nora akan berhenti bermain jika perolehan poin miliknya sudah lebih besar dari perolehan poin komputer setelah suatu ronde selesai. Jika peluang Nora berhenti bermain pada ronde keempat atau sebelumnya dapat dinyatakan dalam pecahan $\frac{a}{b}$ dengan $\text{FPB}(a, b) = 1$, tentukan nilai dari $a + b$.
Tentukan banyaknya bilangan asli sembilan digit yang terdiri dari sembilan digit berbeda dan habis dibagi oleh 4950.
Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan $AB < BC$ dan titik tengah sisi $BC, CA, AB$ adalah $D, E,$ dan $F$ secara berturut-turut. Dua segitiga sama sisi $\triangle BFG$ dan $\triangle CEH$ dibentuk di luar segitiga $ABC$. Diketahui bahwa $\angle BDG = 20^\circ$, maka tentukan $\angle CDH$.So
Misalkan $a, b, c$ bilangan real taknegatif sehingga$$a^2 + b^2 + c^2 + abc = 5$$$$a + b + c = 3$$Carilah nilai maksimum dari$$\left \lfloor 135 \left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \right) \right \rfloor$$
Tentukan jumlah semua bilangan prima $p$ sehingga terdapat bilangan asli $n$ yang memenuhi$$(p - 4)(p + 1)(p + 3) = (n - 4)(n + 4)$$
Tentukan
Bilangan real positif $a, b, c$ memenuhi persamaan $a + \frac{b}{2} = \frac{c}{5}$. Jika $M$ adalah nilai maksimal dari$$3\sqrt{a} + 6\sqrt{b} - \frac{c^2}{250},$$maka tentukan nilai $\lfloor M^2 \rfloor$.S
Tentukan banyaknya tripel terurut bilangan asli $(a, b, c)$ sedemikian sehingga memenuhi persamaan $$\sqrt{\frac{\text{FPB}(a, b) \, \text{FPB}(b, c) \, \text{FPB}(c, a)}{\text{KPK}(a, b) \, \text{KPK}(b, c) \, \text{KPK}(c, a)}} = \frac{\text{FPB}(a, b, c)}{2025}$$
Diberikan segitiga $ABC$. Titik $D$ dan $E$ terletak pada segmen $AB$ sehingga $AD : DE : EB = 2 : 3 : 2$, dan titik $F$ dan $G$ terletak pada segmen $BC$ sehingga $BF : FG : GC = 1 : 3 : 1$, sementara titik $H$ dan $I$ berada pada segmen $AC$ sehingga $AH : HI : IC = 2 : 3 : 1$. Jika $P$ dan $R$ merupakan perpotongan $FH$ dengan $DG$ dan $EI$ berturut-turut, dan nilai dari $\frac{FR}{HP}$ dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}$ di mana $a, b$ merupakan bilangan asli dengan $\text{FPB}(a, b) = 1$, tentukan nilai dari $a + b$.
Misalkan $a_1, a_2, \dots, a_{24}$ merupakan bilangan bulat sehingga$$a_1 + a_2 + \dots + a_{24} = 0$$dan $|a_k| \le k$ untuk setiap $k = 1, 2, \dots, 24$. Tentukan nilai maksimum dari$$a_1 + 2a_2 + \dots + 24a_{24}.$$
Misalkan $a_1 < a_2 < \dots < a_{16}$ adalah barisan bilangan bulat yang membentuk barisan aritmetika dengan beda $d$. Tentukan bilangan asli terbesar $n$ sehingga$$n \mid d a_1 a_2 \dots a_{16}$$ selalu kelipatan $n$ untuk setiap barisan aritmetika yang mungkin.

KTOM 2025 - Mei

Admin dot — Thu, 30 Apr 2026 02:18:23 +0000

BAGIAN A.

Sebuah jajargenjang memiliki panjang sisi 20 dan 25 serta luas yang merupakan sebuah bilangan asli yang habis dibagi 7. Jika $M$ dan $m$ keduanya menyatakan luas terbesar dan terkecil yang mungkin dari jajargenjang tersebut, tentukan nilai dari $M - m$.
Pada penjabaran $(ax + b)^{2025}$, diketahui koefisien dari $x^{1000}$ bernilai sama dengan koefisien dari $x^{1001}$. Bila $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat positif, tentukan nilai minimal dari $a + b$.
Diberikan kumpulan 9 titik pada koordinat kartesius sebagai berikut:$$(2, 0), (1, 0), (0, 0), (-1, 0), (-2, 0), (0, -2), (0, -1), (0, 1), (0, 2).$$Tentukan banyaknya garis berbeda yang melewati setidaknya dua titik di kumpulan tersebut.
Tentukan bilangan komposit $n$ terkecil sehingga $2025!$ tidak habis dibagi $n$.
Diberikan segienam $ABCDEF$ di mana $\angle A = \angle B = \angle C = \angle E = \angle F = 90^{\circ}$ dan $\angle D = 270^{\circ}$, dengan panjang sisi $AB = 6, AF = 4, EF = 2, DE = 2$. Jika peluang terambilnya secara acak titik di dalam segienam $ABCDEF$ sehingga berjarak setidaknya $2\sqrt{2}$ dari titik $D$ dapat dinyatakan dalam bentuk$$\frac{a - b\pi}{c},$$di mana $a, b, c$ adalah bilangan asli dengan $\text{FPB}(a, b, c) = 1$, tentukan nilai dari $a^2 + b^2 + c^2$.
Tentukan banyaknya bilangan asli $a \le 10^6$ sehingga $a^5 - a$ merupakan kelipatan dari enam prima pertama.
Carilah jumlah semua bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $n \mid x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x$ untuk semua bilangan bulat $x$.
Tiga sahabat Freddy, Fredi, dan Peledi akan memainkan sebuah permainan, di mana tiap pemain akan memilih bilangan real di antara 0 dan 1. Pemenang adalah pemain dengan bilangannya berada di antara bilangan dua pemain lainnya. Freddy bilang bahwa dia akan memilih sembarang bilangan di antara 0 dan 1. Sementara Fredi akan memilih sembarang bilangan di antara $\frac{1}{5}$ dan $\frac{1}{2}$. Jika peluang terbesar Peledi menang adalah $\frac{a}{b}$, di mana $a, b$ relatif prima, tentukan nilai dari $3a + b$.
Misalkan $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_j, y_j)$ adalah semua solusi bulat dari persamaan$$(xy - 47)^2 = x^2 + y^2.$$Tentukan nilai dari $x_1y_1 + x_2y_2 + \dots + x_jy_j$.
Misalkan $A$ adalah perkalian seluruh bilangan real taknol $x$ yang memenuhi persamaan$$\sqrt{x^3 + 20x} = \sqrt{x^5 - 20x}.$$Tentukan nilai dari $\lfloor A^2 \rfloor$.
Delapan orang sedang berbaris untuk bermain pesan berantai. Orang di paling kiri akan membisikkan suatu kata ke orang di sebelah kanannya. Orang kedua dari kiri akan mendengarkan kata yang disampaikan dan akan membisikkan kata yang ia dengar ke orang di sebelah kanannya. Hal ini diteruskan sampai ke orang yang ada di paling kanan. Orang terakhir akan menyampaikan kata yang ia terima dan akan dibandingkan dengan kata yang dibisikkan pertama kali. Diketahui setiap orang punya pendengaran yang cukup baik sehingga kata yang didengar setiap orang hanya berselisih maksimal satu huruf dari kata yang dibisikkan oleh orang sebelumnya. Selisih satu huruf ini berarti ada satu huruf yang ditambahkan atau dihapus dari kata yang dibisikkan, tetapi huruf yang sudah ada tidak diganti dengan huruf yang lain. Sebagai contoh, kata KTOM bisa didengar sebagai KTOMA, KTM, atau KTOM, tetapi tidak dengan KTOF. Jika kata yang diucapkan oleh orang di paling kiri adalah FURINA dan kata yang diucapkan oleh orang di paling kanan adalah MINE, tentukan banyak kemungkinan perubahan kata selama kata dibisikkan.
Diberikan segitiga $\triangle ABC$ dengan $AB = 7$ dan $AC = 21$. Titik $D$ dikonstruksi sehingga $ABDC$ merupakan jajar genjang. Misalkan garis $BD$ dan $CD$ berturut-turut memotong lingkaran luar $\triangle ABC$ di titik $E$ dan $F$. Tentukan luas terbesar yang mungkin dari segiempat $AEDF$.
Diberikan himpunan $S$ dengan 36 anggota, yang merupakan kumpulan seluruh titik di koordinat kartesius yang memiliki koordinat $(x, y)$ di mana $x$ dan $y$ merupakan bilangan asli yang tidak lebih dari 6. Sebuah segitiga $X$ disebut menarik jika ketiga titik sudut dari $X$ merupakan anggota dari $S$ dan titik pusat lingkaran luar $X$ juga merupakan anggota $S$. Tentukan banyaknya segitiga menarik.
Misalkan $\tau(n)$ menyatakan banyaknya faktor positif dari $n$ dan $\varphi(n)$ menyatakan banyaknya bilangan asli kurang dari atau sama dengan $n$ yang relatif prima dengan $n$. Tentukan jumlah seluruh bilangan asli ganjil $1 < n < 10000$ sehingga $\varphi(n)\tau(n)$ merupakan kelipatan $n$.
Tentukan banyak kuadrupel bilangan asli $(a, b, c, d)$ yang memenuhi sistem persamaan berikut: $$\sqrt{2025}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \sqrt{(c + 2025)(d + 2025)}$$ $$\sqrt{2025}(\sqrt{b} + \sqrt{c}) = \sqrt{(d + 2025)(a + 2025)}$$ $$\sqrt{2025}(\sqrt{c} + \sqrt{d}) = \sqrt{(a + 2025)(b + 2025)}$$ $$\sqrt{2025}(\sqrt{d} + \sqrt{a}) = \sqrt{(b + 2025)(c + 2025)}.$$
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 4, AC = 5, BC = 7$. Lingkaran dalam $\triangle ABC$ dengan titik pusat $I$ menyinggung sisi $BC$ dan $CA$ berturut-turut di titik $D$ dan $E$. Jika $K$ dan $L$ berturut-turut merupakan refleksi titik $D$ dan $E$ terhadap $I$, tentukan nilai dari $\lfloor 7(AL \cdot BK)^2 \rfloor$.

BAGIAN B.

Diberikan pasangan bilangan bulat taknol $(a,b)$ sehingga terdapat fungsi $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ dan $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ yang memenuhi persamaan $$f(g(x)) = x + a \quad \text{dan} \quad g(f(x)) = x + b$$ untuk setiap bilangan bulat $x$.

(a) Buktikan bahwa fungsi $f$ dan $g$ merupakan fungsi surjektif.

Hint: Tinjau $f(g(z - a))$ dan $g(f(z - b))$ untuk bilangan bulat $z$.

Catatan: Suatu fungsi $h: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ merupakan fungsi surjektif jika untuk setiap bilangan bulat $k$, terdapat bilangan bulat $c$ sehingga $h(c) = k$.

(b) Buktikan bahwa $$f(x + b) = f(x) + a \quad \text{dan} \quad g(x + a) = g(x) + b$$ untuk setiap bilangan bulat $x$.

Hint: Tinjau $f(g(f(x)))$ dan $g(f(g(x)))$.

(c) Buktikan bahwa banyaknya kemungkinan nilai $f(x) \pmod a$ kurang dari atau sama dengan $|b|$, dan banyaknya kemungkinan nilai $g(x) \pmod b$ kurang dari atau sama dengan $|a|$.

(d) Buktikan bahwa $|a| = |b|$.

Hint: Gunakan bagian (a) dan (c).

(e) Buktikan bahwa untuk seluruh pasangan bilangan bulat taknol $(a, b)$ dengan $|a| = |b|$, terdapat fungsi $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ dan $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ yang memenuhi persamaan$$f(g(x)) = x + a \quad \text{dan} \quad g(f(x)) = x + b$$untuk setiap bilangan bulat $x$.
Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan $AB < AC$. Misalkan titik $X$ berada di dalam segitiga $ABC$ sehingga $\angle XBC = \angle XAB$ dan $\angle XCB = \angle XAC$. Apabila titik $H$ adalah titik tinggi segitiga $ABC$, buktikan bahwa $AX$ tegak lurus dengan $HX$.
Tentukan semua pasangan bilangan bulat nonnegatif $(a, b)$ sehingga terdapat suatu bilangan bulat $z$ yang memenuhi persamaan$$3^a - 7^b = z^3$$
Terdapat kue spesial berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi 9 satuan yang terbagi menjadi 81 segitiga sama sisi satuan. Bowser dapat memilih dan kemudian mengambil kue berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi 2 satuan yang terdiri dari 4 segitiga sama sisi satuan dari kue spesial tersebut.

Proses ini diulang sampai Bowser tidak dapat lagi mengambil kue ukuran 2 satuan dari kue spesial. Tentukan banyaknya kue dengan ukuran 2 satuan minimum yang dapat diambil Bowser.

KTOM 2025 - April

Admin dot — Thu, 30 Apr 2026 01:58:54 +0000

BAGIAN A.

Tentukan banyak kemungkinan nilai dari$$\frac{x}{|x|} + \frac{y}{|y|} + \frac{z}{|z|}$$untuk bilangan real taknol $x, y, z$.
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB > AC$ dan $\angle BAC = 72^{\circ}$. Garis bagi sudut $\angle BAC$ memotong lingkaran luar $\triangle ABC$ di titik $D \neq A$. Misalkan titik $O$ adalah titik pusat lingkaran luar $\triangle ABC$. Titik $E$ adalah perpotongan garis $OD$ dan perpanjangan $AC$. Jika $BE$ dan $AD$ sejajar, tentukan $\angle ADB$.
Definisikan $S(n)$ sebagai jumlah dari digit-digit desimal $n$. Tentukan banyaknya bilangan asli dua digit $n$ sehingga $n + 8S(n)$ merupakan bilangan kuadrat sempurna.
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari $\{1, 2, \dots, 12\}$ dengan setidaknya 4 elemen sehingga tidak ada dua elemen dengan selisih 3.
Misalkan $a, b,$ dan $c$ adalah tiga bilangan real tak nol yang memenuhi sistem persamaan$$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = 0$$$$2a^2b + ab^2 + 2b^2c + bc^2 + 2c^2a + ca^2 + 5abc = 0.$$Tentukan nilai dari$$\left| \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} \right|.$$
Diberikan bilangan asli $n > 2$ dan $m$ sehingga $m^2 + m + n^2$ merupakan kelipatan $mn$.Tentukan nilai minimal yang mungkin dari $mn$.
Pada suatu pertandingan basket, Marselino dan Arhan memperebutkan bola untuk memasukkannya ke dalam ring. Diketahui bahwa perbandingan peluang Marselino dan Arhan merebut bola adalah $3 : 2$. Seseorang dinyatakan menang jika berhasil memasukkan bola ke dalam ring dua kali berturut-turut. Mereka bermain sampai ada yang menang. Jika peluang Marselino memenangkan pertandingan ini dapat dinyatakan dalam pecahan sederhana $\frac{a}{b}$, tentukan nilai dari $a + b$.
Diberikan segiempat siklis $ABCD$ dengan luas $2025$ dan $\angle ABC = 45^{\circ}$. Apabila$$2AC^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2,$$tentukan nilai dari $AB^2 + BC^2 - CD^2 - DA^2$.
Definisikan harga sebuah permutasi $(a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2025})$ dari $(1, 2, 3, \dots, 2025)$ sebagai$$\sum_{i=1}^{2025} |a_i - i|.$$Jika rata-rata harga dari seluruh permutasi dari $(1, 2, \dots, 2025)$ adalah $E$, tentukan nilai dari $\left\lfloor \sqrt{12E} \right\rfloor$.
Diberikan tiga bilangan real berbeda $a, b,$ dan $c$. Misalkan Saka menggambar tiga grafik dari tiga fungsi $f_1(x) = ax^2 + bx + c$, $f_2(x) = bx^2 + cx + a$, dan $f_3(x) = cx^2 + ax + b$. Tentukan banyak titik potong minimum yang mungkin yang dapat dibentuk oleh tiga grafik tersebut.
Misalkan $n$ merupakan bilangan asli yang kurang dari $1000$. Jika jumlah semua sisa pembagian taknegatif $n$ oleh $2, 2^2, 2^3, \dots, 2^9$ adalah $137$, tentukan jumlah semua $n$ yang memenuhi.
Diberikan segitiga $ABC$ dengan panjang $AB = 10$, $BC = 17$, dan $CA = 9$. Titik $O$ adalah titik pusat lingkaran luar segitiga $ABC$. Lalu, titik $D$ adalah titik pusat lingkaran luar segitiga $OAC$. Garis yang melalui $D$ dan tegak lurus dengan $AD$ memotong $AC$ pada titik $F$. Jika luas $\triangle ADF$ adalah $x$ satuan luas, tentukan $\lfloor x \rfloor$.
Pasangan bilangan real $(a, b)$ dikatakan asiq jika memenuhi bahwa sistem persamaan$$x^2 = (a - y)(a + y + 2)$$$$y^2 = (b - x)(b + x + 2)$$tidak memiliki solusi bilangan real $(x, y)$. Misalkan $r$ adalah peluang pasangan bilangan real $(a, b)$ yang dipilih secara acak di interval $-\sqrt{2} - 1 \le a, b \le 2\sqrt{2} - 1$ merupakan pasangan yang asiq. Tentukan nilai dari $\left\lfloor 2025r \right\rfloor$.
Tentukan bilangan asli $n$ terbesar sehingga$$\binom{2}{1} \cdot \binom{4}{2} \cdot \binom{6}{3} \cdot \dots \cdot \binom{4088}{2044} \cdot \binom{4090}{2045}$$merupakan kelipatan $2^n$.
Terdapat 2025 siswa di suatu kelas. Mereka memiliki nomor absen $1, 2, \dots, 2025$. Setiap siswa melempar koin dan mendapat skor sesuai nomor absen jika mendapatkan angka, dan mendapat skor 0 jika mendapatkan gambar. Jika peluang jumlah skor seluruh siswa merupakan kelipatan 3 dapat dinyatakan dalam pecahan $\frac{a}{2^b}$ untuk bilangan asli ganjil $a$ dan bilangan bulat taknegatif $b$, tentukan nilai dari $b$.
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 9, BC = 8, CA = 7$ dan lingkaran luarnya $\omega$. Titik $P$ adalah perpotongan garis singgung $\omega$ pada $A$ dan $BC$. Titik $M_1$ dan $M_2$ adalah titik tengah busur kecil $AB$ dan $AC$. Titik $P_1 \neq M_1$ dan $P_2 \neq M_2$ adalah perpotongan $PM_1$ dan $PM_2$ dengan $\omega$. Lalu, garis singgung $\omega$ pada $P_1$ dan $P_2$ berpotongan dengan $AC$ dan $AB$ secara berturut-turut di $Q_1$ dan $Q_2$. Jika $\frac{PQ_1}{PQ_2} = \frac{a}{b}$ dengan $\frac{a}{b}$ pecahan bentuk paling sederhana, tentukan nilai dari $a + b$.

BAGIAN B.

Untuk bilangan asli $n$, misalkan $d(n)$ adalah banyaknya faktor positif dari $n$ serta misalkan $\varphi(n)$ adalah banyaknya bilangan asli tidak lebih dari $n$ yang relatif prima dengan $n$. Definisikan $n$ sebagai bilangan kawaii jika memenuhi $d(n) + \varphi(n) = n + 1$. Misalkan $A$ adalah himpunan seluruh faktor positif dari $n$ dan $B$ adalah himpunan seluruh bilangan asli tidak lebih dari $n$ yang relatif prima dengan $n$. Notasikan untuk $|X|$ sebagai banyaknya elemen di himpunan $X$.

(a) Untuk seluruh bilangan asli $n$, buktikan bahwa $|A \cap B| = 1$ dan $|A \cup B| \le n$.

(b) Untuk seluruh bilangan asli $n$, buktikan bahwa $d(n) + \varphi(n) \le n + 1$, dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika $|A \cup B| = n$. Hint: gunakan prinsip inklusi eksklusi $|A| + |B| = |A \cup B| + |A \cap B|$.

(c) Dari bagian (b), buktikan bahwa jika $n$ kawaii, untuk seluruh bilangan asli $2 \le m \le n$, maka $m$ merupakan anggota dari tepat salah satu himpunan $A$ atau $B$.

(d) Buktikan bahwa 1 dan seluruh bilangan prima adalah kawaii.

(e) Asumsikan $n \ge 4$ adalah bilangan komposit yang kawaii. Misalkan $n = ab$ untuk $a \ge b \ge 2$. Dari bagian (c), buktikan bahwa $m_1 = a(b - 1)$ dan $m_2 = b(a - 1)$ merupakan anggota $A$. Kemudian, simpulkan seluruh bilangan komposit $n \ge 4$ yang kawaii.

Dari bagian (d) dan (e), simpulkan seluruh bilangan kawaii.
Diberikan himpunan $S$ dengan tepat 9 elemen yang merupakan himpunan bagian dari $\{1, 2, \dots, 72\}$. Buktikan bahwa terdapat dua himpunan $A$ dan $B$ yang memenuhi ketiga syarat berikut:

- $A$ dan $B$ merupakan himpunan bagian tak kosong dari $S$,

- Hasil penjumlahan seluruh elemen di $A$ dan $B$ sama besar, dan

- $A \cap B$ merupakan himpunan kosong.
Diberikan segiempat siklis $ABCD$ dengan $BC < AD$ dan $CD < AB$. Garis $BC$ dan $AD$ berpotongan di $X$, dan garis $CD$ dan $AB$ berpotongan di $Y$. Misalkan $E, F, G, H$ adalah titik tengah sisi $AB, BC, CD, DA$ berturut-turut. Misalkan $S$ dan $T$ titik pada segmen $EG$ dan $FH$ berturut-turut sedemikian sehingga $XS$ adalah garis bagi dalam sudut $\angle BXA$ dan $YT$ adalah garis bagi dalam sudut $\angle DYA$. Tunjukkan bahwa $TS$ sejajar dengan $BD$ jika dan hanya jika $AC$ membagi segiempat $ABCD$ menjadi dua segitiga dengan luas yang sama.
Misalkan $P(x)$ adalah sebuah polinomial monik berkoefisien real sehingga terdapat polinomial berkoefisien real $Q(x)$ sehingga $$P(x^2 - 2) = P(x)Q(x).$$

(a) Tentukan semua akar kompleks yang mungkin dari $P(x)$.

(b) Untuk sembarang polinomial $P(x)$ monik yang memenuhi, tentukan apakah $P(x)$ harus merupakan polinomial berkoefisien rasional.

Catatan: Polinomial monik adalah polinomial dengan koefisien dari suku pangkat tertinggi adalah 1. Sebagai contoh, $x^2 - 1$ adalah polinom monik sementara $2x + 3$ tidak monik.

KTOM 2025 - Maret

Admin dot — Wed, 29 Apr 2026 07:39:33 +0000

BAGIAN A.

Tentukan jumlah seluruh bilangan asli $n$ sehingga $n$ merupakan kelipatan 15 dan memiliki tepat 15 faktor positif.
Tentukan banyaknya pasangan bilangan real $(a, b)$ yang memenuhi persamaan $$a^3 - b = 2a$$ $$b^3 - a = 2b.$$
Diberikan segitiga lancip $ABC$ di mana panjang $AB = 5$ dan $AC = 7$ . Titik $D$ dan $E$ pada $BC$ sedemikian sehingga $AD$ garis bagi $\angle A$ dan $AE$ tegak lurus $BC$ . Jika panjang $DE = 2$ , panjang $BC$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\sqrt{a} - b$ di mana $a$ dan $b$ bilangan asli. Tentukan nilai dari $a + b$ .
Tentukan banyaknya bilangan bulat positif $a$ dengan $a \le 154$ sedemikian sehingga koefisien $x^a$ dalam ekspansi $$(1 + x^7 + x^{14} + \dots + x^{77}) (1 + x^{11} + x^{22} + \dots + x^{77})$$ adalah nol.
Diberikan bilangan real berbeda $a, b, c$ yang memenuhi $$36(a - b)^2 = 9(b - c)^2 = 4(c - a)^2.$$ Tentukan nilai dari $$\left| 36 \left( \frac{a - b}{b - c} + \frac{b - c}{c - a} + \frac{c - a}{a - b} \right) \right|.$$
Palindrome adalah kata yang dapat dibaca dari depan dan belakang secara sama. Sebagai contoh, 'ayaya' dan 'kasurrusak' adalah palindrome. Palingram adalah kata yang hurufnya dapat disusun menjadi sebuah palindrome. Sebagai contoh, 'hobibocchi' adalah palingram karena karakternya dapat disusun menjadi 'ochibbihco' yang merupakan palindrome. Tentukan banyaknya palingram yang terdiri dari lima huruf.
Tentukan banyaknya bilangan bulat positif $n$ kurang dari satu juta sehingga $$\sum_{k=1}^{n} \frac{\lfloor \sqrt{k} \rfloor + 1}{\lfloor \sqrt{k+1} \rfloor}$$ merupakan bilangan bulat.
Diberikan segiempat konveks $ABCD$ di mana $|\angle ABC - \angle ADC| = 80^\circ$ . Lingkaran dalam segitiga $BCD$ menyinggung sisi $CD, CB, BD$ berturut-turut di titik $P, Q, R$ . Lingkaran dalam segitiga $ABD$ menyinggung $BD, DA, AB$ berturut-turut di titik $R, S, T$ . Tentukan selisih dari besar sudut $\angle PRS$ dan $\angle QRT$ .
Tentukan nilai dari $$\text{FPB}(20^3 + 50, 20^5 + 50, 20^7 + 50, \dots, 20^{2025} + 50).$$
Diberikan fungsi $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sedemikian sehingga barisan $f(n) + f(n + 1)$ untuk $n$ asli membentuk barisan geometri dan barisan $f(n) \cdot f(n + 1)$ untuk $n$ asli membentuk barisan aritmatika. Diketahui $f(1) = 2$ dan $f(2) = 3$ , tentukan nilai dari $f(2025)$ .
Misalkan setiap koin memiliki dua sisi yang masing-masing diberi label $A$ dan $B$ . Diberikan 100 koin yang diletakkan di atas meja sehingga setiap koin menunjukkan label $A$ . Pada hari ke- $n$ , Jack membalik sembarang $n$ keping koin. Tentukan banyaknya koin maksimum yang menunjukkan label $B$ setelah 100 hari.
Diketahui segitiga $ABC$ dengan titik bagi $I$ dan $AI$ memotong $BC$ di $D$ . Jika panjang $AC = 10$ dan diketahui bahwa $$BC \cdot \sin(\angle CAD) = (AC - AB) \cdot \sin(\angle ADC),$$ tentukan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $ABC$ .
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ACB = 28^{\circ}$ dan $\angle BAC = 32^{\circ}$ . Garis bagi $\angle C$ memotong $AB$ di titik $D$ dan $E$ pada segmen $AC$ sedemikian sehingga $\angle AEB = 88^{\circ}$ . Tentukan besar dari $\angle DEC$ dalam satuan derajat.
Untuk bilangan asli $n$ , definisikan $f(n) = \frac{1}{\varphi(n^5)}$ . Misalkan bahwa $$\frac{f(1) + f(3) + f(5) + \dots}{f(2) + f(4) + f(6) + \dots} = \frac{m}{n}$$ di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan asli relatif prima. Tentukan $10m + n$ .
Diberikan tiga bilangan riil $a, b, c$ yang memenuhi sistem persamaan $$4a^2 = 4a^4 + b^2$$ $$4b^2 = 4b^4 + c^2$$ $$4c^2 = 4c^4 + a^2.$$ Misalkan $a_i$ adalah semua nilai $a$ yang memenuhi persamaan tersebut dengan $a_1 \ge a_2 \ge \dots \ge a_n$ . Jika nilai dari $a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 \cdot a_7 = \frac{p}{q}$ di mana $p, q$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $p+q$.
Di sebuah papan $4 \times 4$ yang terdiri dari 16 persegi satuan, 5 persegi satuan berbeda dipilih secara acak. Jika peluang tidak ada dua persegi satuan yang memiliki sisi persekutuan adalah $\frac{m}{n}$ untuk bilangan asli relatif prima $m$ dan $n$ , tentukan nilai dari $m + n$ .

BAGIAN B.

Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan $BC < AB < AC$ . Titik $D$ dan $E$ terletak di sisi $AB$ dan $AC$ berturut-turut sehingga $DB = BC = CE$ . Garis $CD$ dan $BE$ bertemu di titik $F$ . Titik $I$ adalah pusat lingkaran dalam segitiga $ABC$ dan titik $H$ adalah titik tinggi segitiga $DEF$ . $\omega_b$ adalah lingkaran berdiameter $BD$ dan $\omega_c$ adalah lingkaran berdiameter $CE$ . $\omega_b$ dan $\omega_c$ berpotongan di titik $X$ dan $Y$ . Misalkan $P$ dan $R$ berturut-turut adalah proyeksi titik $E$ dan $B$ ke garis $DC$ , serta $Q$ dan $S$ berturut-turut adalah proyeksi titik $D$ dan $C$ ke garis $BE$ .
(a) Buktikan bahwa $I$ adalah titik tinggi $\triangle FBC$ .
(b) Buktikan bahwa titik $Q$ dan $R$ terletak di $\omega_b$ dan titik $P$ dan $S$ terletak di $\omega_c$ .
(c) Buktikan $DH \cdot HQ = EH \cdot HP$ dan $CI \cdot IS = BI \cdot IR$ .
(d) Dengan Radical Axis Theorem, buktikan bahwa $I$ dan $H$ terletak di garis $XY$ .
Tentukan semua pasangan bilangan asli $(m, n)$ yang memenuhi $$2^{n!} + 1 \mid 2^{m!} + 19.$$
Tentukan seluruh fungsi $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ sehingga $$f \left( f \left( f \left( \frac{x+y}{2} \right) \right) + x + y \right) = f(x) + f(y) + f \left( \frac{x+y}{2} \right)$$ untuk setiap $x, y \in \mathbb{Q}$ .
Diberikan papan catur $n \times n$ dengan $n > 3$ yang setiap persegi satuan awalnya berwarna putih. Setiap langkah, kita mengubah warna (dari putih menjadi hitam atau sebaliknya) dari lima persegi yang membentuk T-pentomino berikut, yang dapat dirotasi maupun direfleksi. Tentukan seluruh bilangan asli $n$ sehingga seluruh persegi pada papan dapat dibuat menjadi hitam dalam beberapa langkah.

KTOM 2025 - Februari

Admin dot — Wed, 29 Apr 2026 07:21:45 +0000

BAGIAN A.

Budi adalah pemain basket yang sedang menjalankan pelatihan intensif basket. Pada akhir setiap hari, peluang bola yang ia lempar memasuki ring bertambah $\frac{1}{50}$. Pada akhir hari pelatihan ke-5, Budi menemukan bahwa ketika ia melempar bola sebanyak 5 kali, peluang tepat 2 bola diantaranya memasuki ring sama dengan peluang tepat 3 bolanya memasuki ring. Jika peluang bola yang Budi lempar memasuki ring saat awal pelatihan (sebelum hari pertama) adalah $\frac{x}{100}$, tentukan nilai dari $2x$.
Diberikan tiga fungsi $f, g, h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yang memenuhi $$f(xy) = g(x)h(y)$$untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}$. Jika diketahui $f(1) = 20, g(2) = 25,$ dan $g\left(\frac{1}{2}\right) = 5$, tentukan nilai dari $h(2048)$.
Misalkan $p_1, p_2, p_3, p_4$ merupakan bilangan prima berbeda yang memenuhi sistem persamaan$$2p_1 + 3p_2 + 5p_3 + 7p_4 = 171$$ $$14p_1 + 7p_2 + 5p_3 + 4p_4 = 150.$$ Tentukan nilai terkecil dari $p_1 p_2 p_3 p_4$.
Diketahui persegi panjang $ABCD$ dengan $BC = 3AB$. Misalkan $\ell$ adalah lingkaran yang menyinggung segmen $AB, BC,$ dan $AD$. Sebuah garis ditarik dari $C$ yang menyinggung $\ell$ memotong segmen $AD$ di titik $K$. Tentukan nilai dari $\frac{KD}{AK}$.
Penduduk Desa Daduda dikenal dengan Ritual Keberuntungan Daduda, di mana pada upacara tersebut akan dilakukan pelemparan dadu setimbang 6 sisi sebanyak 5 kali berturut-turut. Penduduk percaya bahwa jika hasil kali semua angka yang diperoleh dari pelemparan dadu habis dibagi 4 atau 5, maka tahun tersebut merupakan tahun keberuntungan. Jika peluang tahun ini merupakan tahun keberuntungan dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}$ di mana $a, b$ bilangan asli yang saling relatif prima, tentukan nilai dari $\lfloor \frac{100a}{b} \rfloor$ .
Tentukan banyaknya bilangan asli $n \le 1000$ sehingga terdapat dua faktor positif berbeda dari $n$ yang jumlahnya $\frac{2n}{5}$ .
Tentukan bilangan asli $n$ terkecil sehingga berlaku $$n + x^2 + xy^2 + xyz^2 \ge 4xyz$$ untuk setiap $x, y, z \in \mathbb{R}^+$ .
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 6, BC = 8,$ dan $AC = 7$ . Titik $M$ adalah titik tengah $BC$ . Titik $D$ berada di sisi yang berbeda dengan titik $B$ terhadap $AC$ sehingga $2\angle BDM = \angle ABC$ dan $BD$ tegak lurus $DC$ . Lalu, titik $E$ adalah perpotongan $AC$ dengan $MD$ dan titik $O$ adalah titik pusat lingkaran luar segitiga $ABC$ . Jika luas segitiga $ODE$ dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ dimana $a$ dan $c$ merupakan bilangan asli yang saling relatif prima dan $b$ bilangan asli yang tidak dapat dibagi oleh bilangan kuadrat selain 1, tentukalah nilai $a + b + c$ .
Diberikan himpunan $A = \{1, 2, \dots, 20\}$ . Tentukan banyaknya himpunan bagian dari $A$ yang memiliki tepat 5 anggota sehingga tidak memuat dua bilangan berurutan dan juga tidak memuat bilangan 1 dan 20 sekaligus.
Diketahui bahwa $x$ dan $y$ adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi 19 sehingga 19 habis membagi $8x + 17y$ . Tentukan nilai maksimum dari $m + n$ dengan $m, n \le 18$ dan memenuhi 19 habis membagi $mx + ny$ .
Tentukan bilangan real terbesar $K$ sehingga memenuhi pertidaksamaan $$\frac{a^2b^2}{2(c - 4)^2} + \frac{abc^2}{(a - 4)(b - 4)} \ge K$$ untuk seluruh bilangan real $a, b, c > 4$ .
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 13, BC = 14,$ dan $AC = 15$ . Lingkaran dalam $\triangle ABC$ berpusat di titik $I$ dan menyinggung sisi $BC, CA, AB$ berturut-turut di titik $D, E, F$ . Misalkan garis yang melalui $A$ dan sejajar dengan $BC$ berpotongan dengan $DF$ dan $DE$ di titik $X$ dan $Y$ berturut-turut dan $N$ adalah perpotongan $XE$ dan $YF$ . Titik $Q$ adalah perpotongan lingkaran luar $\triangle ANI$ dengan lingkaran dalam $\triangle ABC$ sehingga $Q$ berada di sisi yang berbeda dengan $A$ terhadap garis $EF$ . Misalkan $M$ adalah titik tengah $EF$ . Jika panjang $MQ = \frac{a\sqrt{b}}{c}$ dengan $a, c$ bilangan asli yang saling relatif prima dan $b$ bilangan asli yang tidak dapat dibagi oleh bilangan kuadrat selain 1, tentukan tiga digit terakhir dari nilai $a + b + c$ .
Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli berbeda $(a, b)$ dengan $a, b < 4048$ sedemikian sehingga $20a^2 - 17b^2$ dan $17a^2 + 20b^2$ merupakan bilangan asli kelipatan 689.
Diberikan bilangan real nonnegatif $a, b, c$ dengan $c = \min\{a, b, c\}$ . Apabila nilai minimum dari $$\frac{1}{a^2 + c^2} + \frac{1}{b^2 + c^2} + \sqrt{a + b + c}$$ adalah $m$ , tentukan nilai dari $\lfloor m^2 \rfloor + \lfloor m \rfloor + \lfloor 10\{m\} \rfloor$ .
Raymond dan Kevin bermain sebuah game. Pada mulanya, $x = 1$ . Pada setiap langkah, mereka memilih bilangan $r \in \{3, 5, 8, 9\}$ secara sembarang dan mengalikan $x$ dengan $r$ . Jika $x + 1$ merupakan bilangan kelipatan 13, Raymond menang; jika $x + 3$ merupakan bilangan kelipatan 13, Kevin menang; jika tidak keduanya, mereka mengulang langkah yang serupa. Jika peluang Raymond memenangkan permainan ini dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan $\frac{a}{b}$ dimana $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang saling relatif prima, tentukanlah nilai dari $a + b$ .
Diberikan dua lingkaran $\omega$ dan $\Omega$ yang tidak saling berpotongan memiliki titik pusat $C_\omega$ dan $C_\Omega$ secara berturut-turut. Jari-jari $\Omega$ jauh lebih besar dari jari-jari $\omega$ . Kedua garis singgung persekutuan luar dari $\Omega$ dan $\omega$ berpotongan di $P$ . Sebuah garis singgung persekutuan dalam dari $\Omega$ dan $\omega$ berpotongan dengan kedua garis singgung persekutuan di $X$ dan $Y$ . Misalkan jari-jari $\omega$ adalah 4, dan jari-jari lingkaran luar $\triangle PXY$ adalah 9, dan $XY$ membagi dua sama besar segmen $\overline{PC_\Omega}$ . Jika panjang $XY$ bisa dinyatakan dalam bentuk $a\sqrt{b}$ dimana $a$ dan $b$ adalah bilangan asli dan $b$ tidak memiliki faktor bilangan kuadrat selain 1, tentukanlah nilai dari $ab$ .

BAGIAN B.

Representasi biner dari suatu bilangan asli $n$ adalah $(a_k a_{k-1} \dots a_1 a_0)_2$ jika $$n = a_k 2^k + a_{k-1} 2^{k-1} + \dots + 2^1 a_1 + 2^0 a_0$$ dan $a_i \in \{0, 1\}$ untuk setiap $0 \le i \le k$ . Sebagai contoh, $2 = (10)_2, 20 = (10100)_2,$ dan $2025 = (11111101001)_2$ . Definisikan $a_n$ sebagai banyaknya dua digit berurutan yang berbeda pada representasi biner dari $n$ . Definisikan juga $b_n$ sebagai banyaknya dua digit berurutan yang sama pada representasi biner dari $n$ . Sebagai contoh, $a_2 = 1, a_{20} = 3, a_{2025} = 4, b_2 = 0, b_{20} = 1, b_{2025} = 6$ . Barisan bilangan bulat $(x_n)_{n \ge 1}$ didefinisikan dengan $x_1 = 0, x_2 = -1, x_3 = 1,$ dan $$x_{4n} = x_{2n} + 1, \quad x_{4n+1} = x_{2n} - 1, \quad x_{4n+2} = x_{2n+1} - 1, \quad x_{4n+3} = x_{2n+1} + 1$$ untuk semua bilangan asli $n$ .
(a) Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ dengan $1 \le n \le 2025$ sehingga $b_n - a_n = 8$ .
(b) Buktikan bahwa $x_n = b_n - a_n$ untuk setiap bilangan asli $n$ .
(c) Tentukan nilai maksimum dan minimum yang mungkin dari $x_n$ untuk $1\le n\le 2025$.
Diberikan bilangan real positif $x, y$ . Buktikan bahwa $$\frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{1}{(y + 1)^2} \ge \frac{1}{xy + 1}.$$ Tentukan seluruh pasangan $(x, y)$ di mana kesamaan terjadi.
Tentukan seluruh fungsi $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $$\frac{f(a) - f(b)}{\varphi(a - b)}$$ merupakan bilangan bulat untuk seluruh bilangan asli $a > b$ dengan $\text{gcd}(a, b) = 1$ .
Diberikan segitiga lancip $ABC$ . $E$ dan $F$ adalah titik pada segmen $AC$ dan $AB$ berturut-turut sehingga $BF \cdot FA = AE \cdot EC$ . Titik $D$ pada sisi yang sama dengan $A$ terhadap garis $EF$ sehingga $\angle DEF = \angle ABC$ dan $\angle DFE = \angle ACB$ . Titik $T$ adalah perpotongan garis $EF$ dan $BC$ . Buktikan bahwa garis $TD$ menyinggung lingkaran luar segitiga $ABC$ .

KTOM 2025 - Januari

Admin dot — Wed, 29 Apr 2026 03:48:31 +0000

BAGIAN A.

Misalkan $A,N,T,I,B,O,K$ adalah bilangan asli satu digit yang saling berbeda. Apabila $m$ dan $M$ berturut-turut adalah nilai minimum dan maksimum yang mungkin dari $$A+N+T+I+B+I+O+T+I+K,$$ tentukan nilai dari $m+M$.
Tentukan bilangan ganjil positif terkecil yang memiliki tepat 15 pembagi positif.
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ACB=32^o$ dan titik $D$ terletak pada $\overline{AB}$. Titik $X$ dan $Y$ berturut-turut adalah bayangan pencerminan $D$ terhadap garis $AC$ dan $BC$. Jika $X,A,B,Y$ terletak pada satu lingkaran, tentukan besar $\angle XCY$.
Diberikan bilangan real $a,b,c$ yang memenuhi sistem persamaan $$a^2=-6b-14$$ $$b^2=8c-23$$ $$c^2=4a+8$$ Tentukan nilai dari $a+b+c$.
Pada suatu pertemuan terdapat 40 orang yang hadir dan akan saling melakukan jabat tangan hanya dengan lawan jenis. Dari 40 orang tersebut terdapat $n$ laki-laki dan $m$ perempuan, dan diketahui bahwa setiap orang memiliki tepat satu orang lawan jenis yang mereka suka dan karena malu, setiap orang tidak akan berjabat tangan dengan orang yang mereka suka. Diketahui bahwa tidak ada 2 orang yang saling suka. Jika banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah 351, tentukan nilai dari $m^2+n^2$.
Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat tak negatif $(m,n)$ yang memenuhi $$2^m+2^n+2^{2024}=2^{m+n}.$$
Diberikan sebuah segitiga $ABC$ dengan $AB=7,AC=5,BC=3$. Diketahui $D$ adalah titik pada sisi $BC$ sehingga $AD$ merupakan garis bagi dalam sudut $BAC$ dan suatu titik $E$ sehingga $ADE$ adalah segitiga sama sisi di mana $E$ dan $B$ berada pada sisi yang sama terhadap garis $AD$. Jika garis $EC$ dan $AD$ berpotongan di titik $K$, tentukan nilai dari $\frac{AK^2}{KD^2}$.
Misalkan $p,q,r$ merupakan akar-akar dari persamaan $x^3-3x+5=0$. Tentukan nilai dari $p^4+q^4+r^4$.
Diberikan persegi $3\times 3$ yang terdiri dari 9 persegi satuan. Setiap persegi satuan akan diwarnai salah satu dari dua pilihan warna, merah atau biru. Tidak boleh ada dua persegi satuan yang berwarna sama dan saling bersebelahan (berbagi sisi). Tentukan banyak cara mewarnai seluruh persegi tersebut.
Tentukan banyak faktor positif dari $20!\times 25! yang merupakan bilangan kuadrat dan habis dibagi oleh 2025.
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=13,BC=14$, dan $CA=15$. $\Omega$ adalah lingkaran luar segitiga $ABC$ dengan titik pusat $O$. $H$ adalah titik tinggi segitiga $ABC$ dan $D\neq A$ adalah titik perpotongan garis $AH$ dengan $\Omega$. Misalkan $\mathscr{l}$ adalah garis yang tegak lurus dengan $AH$ yang melalui $O$, dan misalkan $E$ dan $F$ adalah titik perpotongan garis $\mathscr{l}$ dengan $AC$ dan $AB$ berturut-turut. Misalkan $\omega$ adalah lingkaran luar $\Delta DEF$. Garis yang melalui $D$ dan menyinggung $\omega$ memotong garis $BC$ di titik $X$. Jika panjang $BX$ dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif dan FPB$(a,b)=1$, tentukan nilai dari $a+b$.
Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan real yang memenuhi $$7x+7y+7xy-3xy^2-3x^2y=40$$ $$2x+2y+2xy+xy^2+x^2y=4.$$ Tentukan nilai dari $\left\lfloor x+y \right\rfloor$.
Diberikan segitiga $ABC$ lancip dengan $AB
Misalkan $S$ adalah segi 18 beraturan. Untuk setiap dua titik sudut $A$ dan $B$ di $S$ definisikan $jarak$ di antara mereka adalah panjang lintasan terpendek melalui sisi segi 18 tersebut untuk bergerak dari $A$ ke $B$. Hitung banyaknya cara untuk memilih 3 titik sudut di $S$ sehingga tidak ada dua titik sudut yang dipilih yang jaraknya 1, 8, atau 9.
Untuk suatu bilangan asli $n$, definisikan $$f(n)=\sum_{k=1}^{n}\varphi(k)\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor^2$$ Hitunglah $f(2019)-f(2018)$.
Diberikan 4 bilangan real positif $x,y,z,m$ sehingga $$x\sqrt{y-m}+y\sqrt{z-m}+z\sqrt{x-m}=6m\sqrt{m}$$ $$x^2+y^2+z^2=12m^2$$ Tentukan jumlah semua nilai $$\left\lfloor \frac{x+y+z}{m} \right\rfloor$$ yang mungkin.

BAGIAN B.

Teorema Akar Rasional (Rational Root Theorem) adalah suatu teorema yang menyatakan: Misalkan $a_0,a_1,...,a_n$ merupakan bilangan bulat dengan $a_n \neq 0$. Tinjau polinom $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$. Jika $P(x)$ memiliki suatu akar rasional $r=\frac{p}{q}$, di mana $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat yang saling relatif prima, teorema ini menyatakan bahwa $p|a_0$ dan $q|a_n$.

a) Buktikan teorema tersebut. Hint: jabarkan persamaan $P(\frac{p}{q})=0$.

b) Diberikan bilangan rasional $a,b,c$ sehingga $a+b+c,ab+bc+ca$, dan $abc$ merupakan bilangan bulat. Buktikan bahwa $a,b$ dan $c$ merupakan bilangan bulat. Hint: Tinjau polinom $(x-a)(x-b)(x-c)$.

c) Diberikan bilangan rasional $a,b,c$ sehingga $X=(a+1)(b+1)(c+1),Y=(a+2)(b+2)(c+2)$, dan $Z=(a+3)(b+3)(c+3)$ merupakan bilangan bulat. Dalam 3 step berikut ini, kita akan membuktikan bahwa $2a,2b$ dan $2c$ merupakan bilangan bulat.

- Buktikan bahwa $2(a+b+c)$ bulat. (Hint: Gunakan bilangan sembarang $d,e,f$, perhatikan bahwa $dX+eY+fZ$ juga merupakan bilangan bulat.)

- Buktikan bahwa $2(ab+bc+ca)$ dan $abc$ bulat.

- Simpulkanlah bahwa $2a,2b$ dan $2c$ merupakan bilangan bulat.
Andi diberikan grid $1\times n$ yang setiap rusuknya berwarna hitam dan terdapat $2n+2$ titik sudut. Di setiap langkah, Andi diperbolehkan untuk menaruh pensil warna merah di salah satu titik sudut grid, lalu mulai bergerak secara vertikal/horizontal dan diperbolehkan untuk belok sebanyak 2 kali. Berapa langkah minimal yang diperlukan Andi agar semua rusuk di grid tersebut berwarna merah?
Diberikan persegi $ABCD$ dan titik $E$ pada segmen $CD$. Misalkan $F$ adalah titik pada segmen $AE$ sehingga $BF$ tegak lurus $AE$. Dengan cara serupa, misalkan $G$ adalah titik pada segmen $EB$ sehingga $AG$ tegak lurus $EB$. Misalkan $DF$ dan $CG$ berpotongan di $H$. Buktikan bahwa $\angle DFC+\angle DGC=90^o+\angle AHD+\angle BHC$.
Misalkan $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang saling relatif prima. Apabila $$\varphi(a^5+a^4b+b^5)=a^2(a+b)(2a+b),$$ buktikan bahwa $\tau(a^2+ab+b^2)$ merupakan perpangkatan dari 2.

Informasi Lomba

Admin dot — Wed, 08 Apr 2026 03:26:31 +0000

KTO Matematika

Sebuah kontes matematika yang dipersembahkan oleh Tim Olimpiade Matematika Indonesia.
Untuk bangsa, untuk negara.

Kontes berikutnya: KTO Matematika April 2026 (Jumat, 10 April 2026 jam 14:00 WIB–Senin, 13 April 2026 jam 23:59 WIB)

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika adalah sebuah inisiatif yang dilaksanakan Tim Olimpiade Matematika Indonesia, perkumpulan pemenang olimpiade matematika nasional (OSN) dan internasional (IMO). Kontes bulanan ini diadakan secara online dan gratis bagi semua orang. Selain itu, kontes ini berisi soal-soal berkualitas yang sangat cocok untuk persiapan OSN tingkat kabupaten, provinsi, maupun nasional.

Kontes ini selamanya gratis. Tidak dipungut biaya sama sekali!
Kontes ini diadakan setiap bulan. Latihan rutin adalah kunci kesuksesan!
Walaupun soal-soalnya setingkat olimpiade SMA, siapa saja, dari bayi, murid SD, SMP, SMA, guru/dosen, sampai kakek-nenek, boleh ikut kontes ini!
Kontes ini diadakan secara online. Soal dikirim lewat email dan peserta cukup mengetik, memfoto, ataupun men-scan dan mengirim balik ke kami!
Kontes ini diselenggarakan oleh ikatan alumni Tim Olimpiade Matematika Indonesia, dengan setidaknya 15 orang dari kami memenangkan medali emas OSN.
Peserta akan diberikan umpan balik mengenai solusi esainya oleh tim kami yang sangat berpengalaman, agar penulisan solusi bisa lebih baik lagi.