KOMUNITAS JELAJAH NALAR - Recent Topics

Focussed Filly

Admin dot — Fri, 03 Jul 2026 08:59:41 +0000

. Jeremy mengambil dua digit berbeda dari angka 173205 dan mengalikannya. Berapakah hasil terbesar yang mungkin?
. Himpunan bilangan bulat positif $\{4, 4, a, b, c\}$ tidak memiliki modus tunggal, dan nilai rata-rata (mean) serta mediannya sama. Berapakah nilai terkecil yang mungkin dari $a + b + c$?
. Dua garis tegak lurus digambar pada bidang koordinat, berpotongan di titik $(20, 25)$. Sebuah garis ketiga dengan kemiringan (gradien) 13 digambar, memotong salah satu dari dua garis tersebut di titik $(11, 7)$, dan garis lainnya di titik $(x, y)$. Berapakah $x + y$? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Suatu fungsi $f(x)$ yang didefinisikan pada bilangan bulat memenuhi sifat berikut: $$f(x + y) = 17^x f(y) + 17^y f(x)$$ Diketahui bahwa $f(2) = 2023$, tentukan dua digit terakhir dari $f(6)$.
. Misalkan $m$ adalah bilangan riil. Misalkan persamaan $(x - 2023) = m$ memiliki $k$ solusi riil berbeda dalam $x$ yang memenuhi $x \ge 1$. Berapakah nilai maksimum yang mungkin dari $k$? Catatan: $$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$.
. Persegi $ABCD$ memiliki titik $E$ pada $CD$ sedemikian sehingga $AE = 13$ dan $DE = 5$. Berapakah $BE^2$?
. John memiliki kotak CD berukuran 6 inci kali 12 inci. Ia memiliki dua CD dengan jari-jari 3 inci yang diletakkan mendatar di dasar kotak tanpa tumpang tindih. Berapakah jari-jari, dalam inci, dari CD terbesar yang dapat ia masukkan ke dalam kotak tersebut tanpa tumpang tindih dengan kedua CD pertama? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Selembar kertas berbentuk segi enam cembung $ABCDEF$, yang panjang sisi-sisinya semua sama dengan 12. Selain itu, $\angle ABC = \angle CDE = \angle EFA = 90^\circ$. Kertas tersebut dilipat sepanjang garis lipatan $\overline{AC}$, $\overline{CE}$, dan $\overline{EA}$ sedemikian rupa sehingga titik-titik sudut $B, D,$ dan $F$ bertemu di titik yang sama. Kertas tersebut kini membentuk permukaan sebuah tetrahedron. Berapakah volume tetrahedron ini?
. Misalkan jajaran genjang $ABCD$ memiliki $AB = 13$, $BC = 5$, dan $AC < BD$. Misalkan garis $\overline{AD}$ dan sisi $\overline{CD}$ memotong lingkaran luar $\triangle ABC$ masing-masing di titik $P \neq A$ dan $Q \neq C$. Diketahui bahwa $\overline{PQ} \perp \overline{AB}$, tentukan panjang $PQ$. Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Pada segitiga sama sisi $ABC$, misalkan $D$ adalah titik tengah $BC$, dan $E$ adalah titik tengah $AD$. Terdapat titik $P$ pada segmen $AB$ sedemikian sehingga terdapat titik $Q$ yang tidak berada pada garis $AC$ yang memenuhi $EQ = EP$, $\angle PEQ = 120^\circ$, dan $QC \perp BC$. Jika $CP = 19$, berapakah $AP \cdot BP$? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan prima sedemikian sehingga $a + b = 50$. Tentukan nilai maksimum yang mungkin dari $ab$.
. Berapakah pangkat tertinggi dari 2 yang dapat membagi bilangan 4-digit dengan bentuk $\overline{ABAB}$ untuk digit $A$ dan $B$ yang bukan nol?
. Misalkan $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan prima sedemikian sehingga $a^4 + b^4 + c^4 = 14738$. Berapakah $a + b + c$?
. Misalkan $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $\gcd(a, b) = 1296$, $\gcd(b, c) = 15$, dan $$\frac{\gcd(a, c)}{1296} > \left(\frac{\text{lcm}(a, b)}{\text{lcm}(a, c)}\right)^2.$$ Ada berapa banyak kemungkinan nilai $c$ untuk $c < 1000$?
. Misalkan $1 = d_1 < d_2 < d_3 < \dots < d_n = k$ adalah pembagi-pembagi yang berbeda dari bilangan bulat positif $k > 1$. Sebut $k$ sebagai bilangan "spesial" jika barisan bilangan bulat yang didefinisikan oleh $a_m = \gcd(d_m, d_{m+1})$ untuk semua bilangan bulat positif $m < n$ mengandung setidaknya $n - 2$ suku yang berbeda. Temukan banyaknya bilangan spesial yang membagi $(202 \cdot 5)^6$.
. Albert, Betty, dan Carlos adalah 3 siswa di dalam kelas yang berjumlah 24 siswa. Guru membagi kelas tersebut secara acak ke dalam 4 tim dengan masing-masing 6 siswa. Jika diketahui bahwa Albert tidak berada di tim yang sama dengan Betty dan Betty tidak berada di tim yang sama dengan Carlos, berapakah peluang Carlos berada di tim yang sama dengan Albert? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Ada berapa banyak kata berbeda yang dapat dibuat dari penyusunan ulang kata "MUSTMATH", termasuk kata "MUSTMATH" itu sendiri?
. 9 titik ditempatkan dengan jarak yang sama di sekeliling lingkaran, dan 4 titik berbeda dipilih secara acak untuk membentuk segiempat. Berapakah peluang bahwa segiempat tersebut memuat pusat lingkaran? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Berapakah nilai ekspektasi dari $1@2@3@4@5$, di mana setiap tanda $@$ adalah perkalian atau pembagian, dengan setiap operasi memiliki kemungkinan yang sama? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Misalkan $N$ adalah banyaknya 4-tupel terurut $A, B, C, D$ dari 4 himpunan bagian tak kosong (tidak harus berbeda) yang diambil dari himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ sedemikian sehingga untuk setiap pasangan himpunan bagian dalam set tersebut, jumlah elemen-elemen dalam irisan dari 2 himpunan bagian tersebut adalah ganjil. Maka $N$ dapat dinyatakan sebagai $2^m \cdot n$ di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat dan $n$ tidak habis dibagi oleh 2. Temukan nilai $m + n$.

Focussed Filly

Admin dot — Fri, 03 Jul 2026 07:37:49 +0000

. Jeremy mengambil dua digit berbeda dari angka 173205 dan mengalikannya. Berapakah hasil terbesar yang mungkin?
. Himpunan bilangan bulat positif $\{4, 4, a, b, c\}$ tidak memiliki modus tunggal, dan nilai rata-rata (mean) serta mediannya sama. Berapakah nilai terkecil yang mungkin dari $a + b + c$?
. Dua garis tegak lurus digambar pada bidang koordinat, berpotongan di titik $(20, 25)$. Sebuah garis ketiga dengan kemiringan (gradien) 13 digambar, memotong salah satu dari dua garis tersebut di titik $(11, 7)$, dan garis lainnya di titik $(x, y)$. Berapakah $x + y$? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Temukan banyaknya pasangan terurut bilangan bulat $(x, y)$, yang masing-masing memiliki nilai mutlak kurang dari atau sama dengan 20 sedemikian sehingga $$\frac{|x| + |y|}{|y| - x} \cdot \frac{x + y}{|x| - y} = -1$$
. Suatu fungsi $f(x)$ yang didefinisikan pada bilangan bulat memenuhi sifat berikut: $$f(x + y) = 17^x f(y) + 17^y f(x)$$ Diketahui bahwa $f(2) = 2023$, tentukan dua digit terakhir dari $f(6)$.
. Persegi $ABCD$ memiliki titik $E$ pada $CD$ sedemikian sehingga $AE = 13$ dan $DE = 5$. Berapakah $BE^2$?
. John memiliki kotak CD berukuran 6 inci kali 12 inci. Ia memiliki dua CD dengan jari-jari 3 inci yang diletakkan mendatar di dasar kotak tanpa tumpang tindih. Berapakah jari-jari, dalam inci, dari CD terbesar yang dapat ia masukkan ke dalam kotak tersebut tanpa tumpang tindih dengan kedua CD pertama? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Selembar kertas berbentuk segi enam cembung $ABCDEF$, yang panjang sisi-sisinya semua sama dengan 12. Selain itu, $\angle ABC = \angle CDE = \angle EFA = 90^\circ$. Kertas tersebut dilipat sepanjang garis lipatan $\overline{AC}$, $\overline{CE}$, dan $\overline{EA}$ sedemikian rupa sehingga titik-titik sudut $B, D,$ dan $F$ bertemu di titik yang sama. Kertas tersebut kini membentuk permukaan sebuah tetrahedron. Berapakah volume tetrahedron ini?
. Titik-titik $O(3\sqrt{3}, 3)$, $A(3\sqrt{3}, 1)$, dan $B(4\sqrt{3}, 4)$ membentuk sebuah sektor lingkaran yang berpusat di titik $O$ pada bidang koordinat. Sektor ini diputar $45^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal (origin). Berapakah luas lintasan yang dilalui oleh sektor tersebut, dalam bentuk $\pi$?
. Misalkan jajaran genjang $ABCD$ memiliki $AB = 13$, $BC = 5$, dan $AC < BD$. Misalkan garis $\overline{AD}$ dan sisi $\overline{CD}$ memotong lingkaran luar $\triangle ABC$ masing-masing di titik $P \neq A$ dan $Q \neq C$. Diketahui bahwa $\overline{PQ} \perp \overline{AB}$, tentukan panjang $PQ$. Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan prima sedemikian sehingga $a + b = 50$. Tentukan nilai maksimum yang mungkin dari $ab$.
. Berapakah pangkat tertinggi dari 2 yang dapat membagi bilangan 4-digit dengan bentuk $\overline{ABAB}$ untuk digit $A$ dan $B$ yang bukan nol?
. Misalkan $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan prima sedemikian sehingga $a^4 + b^4 + c^4 = 14738$. Berapakah $a + b + c$?
. Misalkan $S$ adalah himpunan $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Albert memilih himpunan bagian tak kosong dari 6 bilangan bulat ini dan mengalikan bilangan-bilangan yang dipilihnya. Dengan menggunakan hasil kali ini, Fiona mencoba menentukan bilangan mana saja dari 6 bilangan bulat tersebut yang dipilih. Berapakah jumlah dari semua kemungkinan hasil kali di mana Fiona tidak mungkin menentukan bilangan-bilangan yang dipilih?
. Misalkan $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $\gcd(a, b) = 1296$, $\gcd(b, c) = 15$, dan $$\frac{\gcd(a, c)}{1296} > \left(\frac{\text{lcm}(a, b)}{\text{lcm}(a, c)}\right)^2.$$ Ada berapa banyak kemungkinan nilai $c$ untuk $c < 1000$?
. Albert, Betty, dan Carlos adalah 3 siswa di dalam kelas yang berjumlah 24 siswa. Guru membagi kelas tersebut secara acak ke dalam 4 tim dengan masing-masing 6 siswa. Jika diketahui bahwa Albert tidak berada di tim yang sama dengan Betty dan Betty tidak berada di tim yang sama dengan Carlos, berapakah peluang Carlos berada di tim yang sama dengan Albert? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Ada berapa banyak kata berbeda yang dapat dibuat dari penyusunan ulang kata "MUSTMATH", termasuk kata "MUSTMATH" itu sendiri?
. 9 titik ditempatkan dengan jarak yang sama di sekeliling lingkaran, dan 4 titik berbeda dipilih secara acak untuk membentuk segiempat. Berapakah peluang bahwa segiempat tersebut memuat pusat lingkaran? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Terdapat 12 apel yang tidak dapat dibedakan untuk dibagikan kepada 5 anak. Agar tidak terjadi pertengkaran, tidak ada anak yang boleh mendapatkan apel lebih banyak daripada gabungan keempat anak lainnya. Ada berapa banyak cara untuk membagikan apel tersebut agar tidak terjadi pertengkaran?
. Berapakah nilai ekspektasi dari $1@2@3@4@5$, di mana setiap tanda $@$ adalah perkalian atau pembagian, dengan setiap operasi memiliki kemungkinan yang sama? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.

Focussed Filly

Admin dot — Fri, 03 Jul 2026 07:23:02 +0000

. Jeremy mengambil dua digit berbeda dari angka 173205 dan mengalikannya. Berapakah hasil terbesar yang mungkin?
. Himpunan bilangan bulat positif $\{4, 4, a, b, c\}$ tidak memiliki modus tunggal, dan nilai rata-rata serta mediannya sama. Berapakah nilai terkecil yang mungkin dari $a + b + c$?
. Di sebuah ruangan besar berisi hewan, terdapat babi yang memiliki 4 kaki; sapi yang memiliki 4 kaki; dan ayam yang memiliki 2 kaki. Ketika jumlah maksimum pasangan ayam-sapi terbentuk, mereka memiliki total 66 kaki, dan ketika jumlah maksimum pasangan ayam-babi terbentuk, mereka memiliki total 42 kaki. Jika terdapat 16 sapi di dalam ruangan tersebut, berapakah jumlah hewan yang ada di dalam ruangan?
. Temukan banyaknya pasangan terurut bilangan bulat $(x, y)$, masing-masing dengan nilai mutlak kurang dari atau sama dengan 20, sedemikian sehingga: $$\frac{|x| + |y|}{||y| - |x||} \cdot \frac{x + y}{||x| - |y||} = -1$$
. Suatu fungsi $f(x)$ yang didefinisikan pada bilangan bulat memenuhi sifat berikut: $$f(x + y) = 17^x f(y) + 17^y f(x)$$ Diketahui bahwa $f(2) = 2023$, temukan dua digit terakhir dari $f(6)$.
. Persegi $ABCD$ memiliki titik $E$ pada $CD$ sedemikian sehingga $AE = 13$ dan $DE = 5$. Berapakah $BE^2$?
. John memiliki kotak CD berukuran 6 inci kali 12 inci. Dia memiliki dua CD dengan jari-jari 3 inci, yang ditempatkan mendatar di bagian bawah tanpa tumpang tindih. Berapakah jari-jari, dalam inci, dari CD terbesar yang dapat dia masukkan ke dalam kotak tersebut tanpa menumpuk dengan kedua CD pertama? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Pada segitiga $ABC$, titik $M$ adalah titik tengah $BC$, dan titik $P$ berada pada ruas garis $AM$ sedemikian sehingga $AP = PM = CP = BM = 2$. Berapakah $AB$? Nyatakan jawaban Anda dalam bentuk akar sederhana.
. Titik $O(3\sqrt{3}, 3)$, $A(3\sqrt{3}, 1)$, dan $B(4\sqrt{3}, 4)$ membentuk sektor lingkaran yang berpusat di titik $O$ pada bidang koordinat. Sektor ini diputar $45^\circ$ berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal. Berapakah luas jalur yang dilalui oleh sektor tersebut, dalam suku $\pi$?
. Misalkan jajaran genjang $ABCD$ memiliki $AB = 13, BC = 5,$ dan $AC < BD$. Misalkan garis $AD$ dan sisi $CD$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ di titik $P \neq A$ dan $Q \neq C$ secara berturut-turut. Diketahui bahwa $PQ \perp AB$, carilah $PQ$. Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan prima sedemikian sehingga $a + b = 50$. Tentukan nilai maksimum yang mungkin dari $ab$.
. Berapakah pangkat tertinggi dari 2 yang dapat membagi bilangan 4-digit dengan bentuk $\overline{ABAB}$ untuk digit $A$ dan $B$ yang bukan nol?
. Alice dan Bob masing-masing memikirkan bilangan 2025 dan 5022. Mereka berdua menuliskan sisa pembagian ketika bilangan mereka dibagi oleh bilangan bulat positif $s$ yang sama. Diketahui bahwa bilangan yang mereka tuliskan adalah ekuivalen dan jika dijumlahkan menghasilkan kelipatan dari $s$, berapakah nilai maksimum dari $s$?
. Misalkan $S$ adalah himpunan $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Albert memilih himpunan bagian tak kosong dari 6 bilangan bulat ini dan mengalikan bilangan-bilangan yang dipilihnya. Dengan menggunakan hasil kali ini, Fiona mencoba menentukan bilangan mana saja dari 6 bilangan bulat tersebut yang dipilih. Berapakah jumlah dari semua kemungkinan hasil kali di mana Fiona tidak mungkin menentukan bilangan-bilangan yang dipilih?
. Misalkan $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $\gcd(a, b) = 1296$, $\gcd(b, c) = 15$, dan $$\frac{\gcd(a, c)}{1296} > \left(\frac{\text{lcm}(a, b)}{\text{lcm}(a, c)}\right)^2.$$ Ada berapa banyak kemungkinan nilai $c$ untuk $c < 1000$?
. Albert, Betty, dan Carlos adalah 3 siswa di dalam kelas yang berjumlah 24 siswa. Guru membagi kelas tersebut secara acak ke dalam 4 tim dengan masing-masing 6 siswa. Jika diketahui bahwa Albert tidak berada di tim yang sama dengan Betty dan Betty tidak berada di tim yang sama dengan Carlos, berapakah peluang Carlos berada di tim yang sama dengan Albert? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Ada berapa banyak kata berbeda yang dapat dibuat dari penyusunan ulang kata "MUSTMATH", termasuk kata "MUSTMATH" itu sendiri?
. Aiden, Brayden, Caden, dan Dayden sedang bermain turnamen sistem gugur untuk permainan 2 orang. Pasangan putaran pertama adalah Aiden vs. Brayden dan Caden vs. Dayden, dan pemenang setiap pertandingan akan saling berhadapan di putaran kedua untuk menentukan juara turnamen. Tidak ada hasil seri, dan setiap pemain memiliki peluang $\frac{1}{2}$ untuk memenangkan pertandingan mereka, kecuali jika pertandingannya adalah Brayden vs. Caden, di mana dalam kasus tersebut Brayden akan menang dengan peluang $\frac{4}{5}$. Berapakah peluang seseorang selain Brayden memenangkan turnamen? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
. Terdapat 12 apel yang tidak dapat dibedakan untuk dibagikan kepada 5 anak. Agar tidak terjadi pertengkaran, tidak ada anak yang boleh mendapatkan apel lebih banyak daripada gabungan keempat anak lainnya. Ada berapa banyak cara untuk membagikan apel tersebut agar tidak terjadi pertengkaran?
. Berapakah nilai ekspektasi dari $1@2@3@4@5$, di mana setiap tanda $@$ adalah perkalian atau pembagian, dengan setiap operasi memiliki kemungkinan yang sama? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.

Herding Hexes

Admin dot — Fri, 03 Jul 2026 03:56:24 +0000

Sebuah TV berbentuk persegi panjang memiliki lebar $w$, panjang $l$, dan diagonal $h$. Ukuran TV diberikan dalam satuan panjang diagonal, bukan panjang sisinya. Jika sebuah TV diiklankan memiliki $h = 25$ inci dan $w = 20$ inci, berapakah $l$ (dalam inci)?
Misalkan $a \oplus b$ sama dengan $\sqrt{a^2 + b^2}$. Hitunglah $(12 \oplus 3) \oplus 4$.
Berapakah banyaknya pembagi dari 2025 yang merupakan kelipatan dari 5?
Anda sedang berada di sebuah lotre dengan hadiah sebesar $27.000 dan hanya ada satu tiket pemenang. Terdapat 5.400 tiket dan Anda membeli 70 tiket. Berapakah nilai harapan kemenangan Anda?
Hitunglah sisa pembagian ketika $5^{390639}$ dibagi oleh 2023.
Max memiliki 5 blok dengan angka 1, 2, 3, 4, dan 5 yang disusun secara berurutan dari kiri ke kanan. Kemudian, dia menutup matanya, mengacak semua blok tersebut secara acak, dan menyusunnya kembali dalam satu baris dengan urutan acak. Diketahui bahwa angka pada blok paling kiri adalah bilangan prima, tentukan peluang bahwa angka pada blok kedua dari kiri juga merupakan bilangan prima. Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
Definisikan $f(x) = x^2 + 40$, dan misalkan $m$ adalah bilangan real positif sedemikian sehingga $f(2m) = 2f(m)$. Temukan nilai $m^2$.
Segitiga sama sisi $ABC$ dengan panjang sisi 3 berada di dalam lingkaran $O$. Lingkaran lain bersinggungan secara internal dengan lingkaran $O$ di titik $T$, serta bersinggungan dengan sisi $AB$ dan $AC$ masing-masing di titik $M$ dan $M'$. Berapakah luas segitiga $MM'T$?
Misalkan $x = (8) \times (9999...9)$ di mana bagian kedua memiliki $n$ buah angka 9. Berapakah nilai $n$ sehingga jumlah digit dari $x$ sama dengan 999?
Berapakah bilangan bulat positif terkecil $n$ sedemikian sehingga 24 membagi $n^2 + 7n$?
Tristan melempar koin 22 kali. Untuk 2 lemparan pertama, dia mendapatkan 1 angka dan 1 gambar. Untuk setiap lemparan setelah yang kedua, Evil Yuuki menukar koin Tristan dengan koin tidak adil sedemikian sehingga setelah $n$ lemparan, peluang lemparan berikutnya adalah angka adalah $\frac{h}{n}$ di mana $h$ adalah jumlah angka yang didapatkan Tristan sampai saat itu. Hitunglah peluang bahwa 20 lemparan terakhir Tristan semuanya jatuh pada gambar. Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
Arpit berlari dalam garis lurus dengan kecepatan 60 mil per jam. Dia memiliki jam tangan, dan waktu menunjukkan pukul 1:00 AM. Setiap 10 menit, dia memeriksa jam tangannya, memastikan 12 titik arah yang sedang dia lalui saat ini, lalu mengubah arah larinya ke arah jarum menit. Selain itu, karena Arpit kelelahan, dia melambat sebesar 10 mil per jam setiap kali dia memeriksa jam tangannya. Saat Arpit berhenti, seberapa jauh dia dari titik awalnya?
Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat yang memenuhi $(6a + b)^2 - (a + 6b)^2 = 4900$. Jika $ab \geq 0$, berapakah nilai terkecil dari $ab$?
Pada gambar di bawah, terdapat 16 titik yang membentuk kisi 4 kali 4. Berapa banyak segitiga yang ada dengan titik sudut yang masing-masing merupakan salah satu dari ke-16 titik tersebut?
Benjamin sakit polynomialitis setelah mengerjakan soal yang sangat menyenangkan. Dokternya meresepkan obat berbentuk kapsul dengan lebar 0,25 inci dan tinggi 1 inci. Diketahui bahwa kapsul terdiri dari dua belahan bola sempurna di ujung sebuah silinder, volume pil tersebut dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}\pi$ inci$^3$ untuk bilangan bulat positif $a$ dan $b$ yang relatif prima. Berapakah $a + b$?
Berapakah pembilang bilangan bulat terkecil yang mungkin untuk pecahan dengan penyebut 34650 yang dapat dinyatakan sebagai desimal berakhir (terminating decimal) positif?
Temukan digit satuan dari $|2^8 + 3^8 - 5^9|$.
Sebuah kantong berisi 121 bola, entah berwarna hitam atau putih. Peluang mengambil 2 bola dengan warna yang sama secara berturut-turut, tanpa pengembalian, adalah $\frac{1}{2}$. Temukan nilai mutlak dari selisih jumlah bola hitam dikurangi jumlah bola putih.
Misalkan $a$ dan $b$ adalah digit dalam basis $(a + b)$ sedemikian sehingga nilai dari angka 2-digit $\underline{ab}$ dalam basis $(a + b)$ sama dengan 144 dalam basis 10. Berapakah nilai $(a + b)$ dalam basis 10?
Luas sebuah segitiga siku-siku adalah 6 kali jumlah panjang kedua sisi tegaknya. Berapa banyak segitiga siku-siku tidak kongruen dengan panjang sisi tegak berupa bilangan bulat yang memenuhi sifat-sifat ini?
Alice berada di lantai ke-20 dari sebuah gedung berlantai 101 (termasuk lantai dasar). Setiap menit, Alice melempar koin yang adil. Jika koin menunjukkan angka, Alice naik satu tingkat. Jika koin menunjukkan gambar, Alice turun satu tingkat. Begitu Alice mencapai lantai dasar atau lantai ke-100, dia akan berhenti. Berapakah peluang bahwa Alice berhenti di lantai ke-100? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa yang disederhanakan.
Bob sedang berkumpul dengan teman-teman Martian-nya, yang semuanya menggunakan sistem angka yang berbeda. Bob menuliskan sebuah angka 3-digit. Teman pertama, yang menafsirkannya dalam basis 5, mengira angka itu berarti 48 dalam basis 10. Teman kedua, yang bekerja dalam basis 6, mengira angka itu sama dengan 63 dalam basis 10. Teman terakhir, dalam basis 7, mengira angka itu adalah 80 dalam basis 10. Berapakah urutan digit-digit tersebut?
Tristan menerima 4 nilai tes, semuanya berupa bilangan bulat antara 1 sampai 10.000, inklusif. Setelah dia menyusunnya dalam urutan tidak menurun, dia menyadari bahwa daftar angka tersebut merupakan deret geometri dengan rasio 2. Selain itu, rata-rata dari $i$ angka pertama adalah bilangan bulat, untuk semua $i$ dari 1 sampai 4, inklusif. Berapa banyak kemungkinan untuk nilai-nilai tes Tristan, dalam urutan saat dia menerimanya dari guru?
Misalkan $f(x) = \frac{(x + 1)^2}{x + 2}$ dan $g(x) = \frac{(x + 1)^2(x + 3)^2}{(x + 2)^2}$. Jika $a$ dan $b$ adalah solusi dari persamaan $f(x) = 4$, berapakah nilai dari $(7g(a) + 40)(7g(b) + 40)$?
Misalkan $ABCD$ adalah sebuah persegi panjang dengan $AB = 9$ dan $BC = 4$. Titik $P, Q, R,$ dan $S$ terletak masing-masing pada sisi $AB, BC, CD,$ dan $DA$. Titik $E, F, G,$ dan $H$ terletak masing-masing pada $SP, PQ, QR,$ dan $RS$, sedemikian sehingga $EFGH$ adalah persegi panjang dengan $EF = 5, FG = 2,$ dan $EF \parallel AB$. Berapakah luas $PQRS$?
Misalkan $S$ adalah himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Temukan banyaknya urutan $A_1, A_2 \dots A_{16}$ dari subset yang berbeda dari $S$ sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat positif $k < 16$, $A_k$ dan $A_{k+1}$ tidak memiliki elemen yang sama, dan jika $k$ ganjil, maka $A_k$ dan $A_{k+1}$ memiliki ukuran gabungan 8.

Herding Hexes

Admin dot — Fri, 03 Jul 2026 03:47:35 +0000

Sebuah TV berbentuk persegi panjang memiliki lebar $w$, panjang $l$, dan diagonal $h$. Ukuran TV diberikan dalam satuan panjang diagonal, bukan panjang sisinya. Jika sebuah TV diiklankan memiliki $h = 25$ inci dan $w = 20$ inci, berapakah $l$ (dalam inci)?
Misalkan $a \oplus b$ sama dengan $\sqrt{a^2 + b^2}$. Hitunglah $(12 \oplus 3) \oplus 4$.
Misalkan $p(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + k$. Diketahui $p(1) = 5$, carilah $k$.
Berapakah banyaknya pembagi dari 2025 yang merupakan kelipatan dari 5?
Anda sedang berada di sebuah lotre dengan hadiah sebesar $27.000 dan hanya ada satu tiket pemenang. Terdapat 5.400 tiket dan Anda membeli 70 tiket. Berapakah nilai harapan kemenangan Anda?
Temukan bilangan bulat terbesar yang kurang dari $\sqrt{91} + \sqrt{2}$.
Segitiga sama sisi $ABE$ dikonstruksikan di luar persegi $ABCD$. Berapakah besar $\angle ACE$ dalam derajat?
Max memiliki 5 blok dengan angka 1, 2, 3, 4, dan 5 yang disusun secara berurutan dari kiri ke kanan. Kemudian, dia menutup matanya, mengacak semua blok tersebut secara acak, dan menyusunnya kembali dalam satu baris dengan urutan acak. Diketahui bahwa angka pada blok paling kiri adalah bilangan prima, tentukan peluang bahwa angka pada blok kedua dari kiri juga merupakan bilangan prima. Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
Definisikan $f(x) = x^2 + 40$, dan misalkan $m$ adalah bilangan real positif sedemikian sehingga $f(2m) = 2f(m)$. Temukan nilai $m^2$.
Segitiga sama sisi $ABC$ dengan panjang sisi 3 berada di dalam lingkaran $O$. Lingkaran lain bersinggungan secara internal dengan lingkaran $O$ di titik $T$, serta bersinggungan dengan sisi $AB$ dan $AC$ masing-masing di titik $M$ dan $M'$. Berapakah luas segitiga $MM'T$?
Misalkan $x = (8) \times (9999...9)$ di mana bagian kedua memiliki $n$ buah angka 9. Berapakah nilai $n$ sehingga jumlah digit dari $x$ sama dengan 999?
Berapakah bilangan bulat positif terkecil $n$ sedemikian sehingga 24 membagi $n^2 + 7n$?
Tristan melempar koin 22 kali. Untuk 2 lemparan pertama, dia mendapatkan 1 angka dan 1 gambar. Untuk setiap lemparan setelah yang kedua, Evil Yuuki menukar koin Tristan dengan koin tidak adil sedemikian sehingga setelah $n$ lemparan, peluang lemparan berikutnya adalah angka adalah $\frac{h}{n}$ di mana $h$ adalah jumlah angka yang didapatkan Tristan sampai saat itu. Hitunglah peluang bahwa 20 lemparan terakhir Tristan semuanya jatuh pada gambar. Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
Annie memiliki lima bilangan bulat positif berurutan. Ketika ia mengalikan tiga di antaranya, ia mendapatkan hasil kali 160. Ketika ia mengalikan dua di antaranya, ia mendapatkan hasil kali 24. Berapakah jumlah dari kelima bilangan bulat milik Annie?
Arpit berlari dalam garis lurus dengan kecepatan 60 mil per jam. Dia memiliki jam tangan, dan waktu menunjukkan pukul 1:00 AM. Setiap 10 menit, dia memeriksa jam tangannya, memastikan 12 titik arah yang sedang dia lalui saat ini, lalu mengubah arah larinya ke arah jarum menit. Selain itu, karena Arpit kelelahan, dia melambat sebesar 10 mil per jam setiap kali dia memeriksa jam tangannya. Saat Arpit berhenti, seberapa jauh dia dari titik awalnya?
Pada gambar di bawah, terdapat 16 titik yang membentuk kisi 4 kali 4. Berapa banyak segitiga yang ada dengan titik sudut yang masing-masing merupakan salah satu dari ke-16 titik tersebut?
Benjamin sakit polynomialitis setelah mengerjakan soal yang sangat menyenangkan. Dokternya meresepkan obat berbentuk kapsul dengan lebar 0,25 inci dan tinggi 1 inci. Diketahui bahwa kapsul terdiri dari dua belahan bola sempurna di ujung sebuah silinder, volume pil tersebut dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}\pi$ inci$^3$ untuk bilangan bulat positif $a$ dan $b$ yang relatif prima. Berapakah $a + b$?
Berapa banyak akar positif yang dimiliki polinomial $f(x) = x^4 - 3x^3 - 7x^2 - x + 1$?
Berapakah pembilang bilangan bulat terkecil yang mungkin untuk pecahan dengan penyebut 34650 yang dapat dinyatakan sebagai desimal berakhir (terminating decimal) positif?
Misalkan $a$ dan $b$ adalah digit dalam basis $(a + b)$ sedemikian sehingga nilai dari angka 2-digit $\underline{ab}$ dalam basis $(a + b)$ sama dengan 144 dalam basis 10. Berapakah $a + b$ dalam basis 10?
Luas sebuah segitiga siku-siku adalah 6 kali jumlah panjang kedua sisi tegaknya. Berapa banyak segitiga siku-siku tidak kongruen dengan panjang sisi tegak berupa bilangan bulat yang memenuhi sifat-sifat ini?
Dalam permainan bola basket yang aneh, John dan Bessie bergantian mencoba untuk menyingkirkan satu sama lain, dengan John yang mendapat giliran pertama. Pada giliran seorang pemain, jika mereka berhasil memasukkan lemparan bebas, maka lawan mereka harus melakukan lemparan bebas. Jika lawan mereka tidak berhasil memasukkannya, maka lawan yang meleset tersebut tersingkir; jika tidak (berhasil memasukkannya), maka giliran berpindah ke lawan. Dengan asumsi bahwa John dan Bessie masing-masing memiliki peluang $\frac{1}{3}$ untuk berhasil dalam setiap lemparan, temukan peluang bahwa Bessie menang.
Alice berada di lantai ke-20 dari sebuah gedung berlantai 101 (termasuk lantai dasar). Setiap menit, Alice melempar koin yang adil. Jika koin menunjukkan angka, Alice naik satu tingkat. Jika koin menunjukkan gambar, Alice turun satu tingkat. Begitu Alice mencapai lantai dasar atau lantai ke-100, dia akan berhenti. Berapakah peluang bahwa Alice berhenti di lantai ke-100? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa yang disederhanakan.
Tristan menerima 4 nilai tes, semuanya berupa bilangan bulat antara 1 sampai 10.000, inklusif. Setelah dia menyusunnya dalam urutan tidak menurun, dia menyadari bahwa daftar angka tersebut merupakan deret geometri dengan rasio 2. Selain itu, rata-rata dari $i$ angka pertama adalah bilangan bulat, untuk semua $i$ dari 1 sampai 4, inklusif. Berapa banyak kemungkinan untuk nilai-nilai tes Tristan, dalam urutan saat dia menerimanya dari guru?
Segitiga $ABC$ terlingkup dalam lingkaran $\omega$. Derajat titik sudut segitiga tersebut adalah $\angle A = 60^\circ, \angle B = 45^\circ,$ dan $\angle C = 75^\circ$. Jika luas $\omega$ adalah $9\pi$, berapakah panjang $BC$?
Misalkan $S$ adalah himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Temukan banyaknya urutan $A_1, A_2 \dots A_{16}$ dari subset yang berbeda dari $S$ sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat positif $k < 16$, $A_k$ dan $A_{k+1}$ tidak memiliki elemen yang sama, dan jika $k$ ganjil, maka $A_k$ dan $A_{k+1}$ memiliki ukuran gabungan 8.

Herding Hexes

Admin dot — Fri, 03 Jul 2026 03:39:27 +0000

Berapakah nilai dari ekspresi berikut: $(1^{-1} + 3^{-1} + 5^{-1}) \div (2^{-1} + 4^{-1} + 6^{-1})$? Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
Sebuah TV berbentuk persegi panjang memiliki lebar $w$, panjang $l$, dan diagonal $h$. Ukuran TV diberikan dalam bentuk panjang diagonal, bukan panjangnya. Jika sebuah TV diiklankan memiliki $h = 25$ inci dan $w = 20$ inci, berapakah $l$ (dalam inci)?
Misalkan $a \oplus b$ sama dengan $\sqrt{a^2 + b^2}$. Hitunglah $(12 \oplus 3) \oplus 4$.
Misalkan $p(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + k$. Diketahui bahwa $p(1) = 5$, carilah nilai $k$.
Berapakah jumlah pembagi dari 2025 yang merupakan kelipatan dari 5?
Anda berada dalam sebuah lotere dengan hadiah sebesar $27.000 dan hanya ada satu tiket pemenang. Terdapat 5.400 tiket dan Anda membeli 70 di antaranya. Berapakah nilai harapan kemenangan Anda?
Temukan bilangan bulat terbesar yang kurang dari $\sqrt{91} + \sqrt{2}$.
Hitunglah sisa pembagian ketika $5^{390639}$ dibagi oleh 2023.
Segitiga sama sisi $ABE$ dikonstruksikan di luar persegi $ABCD$. Berapakah besar $\angle ACE$ dalam derajat?
Max memiliki 5 blok dengan angka 1, 2, 3, 4, dan 5 yang disusun secara berurutan dari kiri ke kanan. Kemudian, dia menutup matanya, mengacak semua blok tersebut secara acak, dan menyusunnya kembali dalam satu baris dengan urutan acak. Diketahui bahwa angka pada blok paling kiri adalah bilangan prima, tentukan peluang bahwa angka pada blok kedua dari kiri juga merupakan bilangan prima. Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
Definisikan $f(x) = x^2 + 40$, dan misalkan $m$ adalah bilangan real positif sedemikian sehingga $f(2m) = 2f(m)$. Temukan nilai $m^2$.
Segitiga sama sisi $ABC$ dengan panjang sisi 3 berada di dalam lingkaran $O$ (terlingkup). Lingkaran lain bersinggungan secara internal dengan lingkaran $O$ di titik $T$, serta bersinggungan dengan sisi $AB$ dan $AC$ masing-masing di titik $M$ dan $M'$. Berapakah luas segitiga $MM'T$?
Dari gambar, lingkaran $P$ dan $Q$ masing-masing memiliki jari-jari sepanjang 5 satuan dan 7 satuan. Jika $PQ = 20$ satuan, dan titik $A$ pada lingkaran $P$ bersinggungan dengan titik $B$ pada lingkaran $Q$ seperti yang ditunjukkan, tentukan panjang $AB$.
Misalkan $x = (8) \times (9999...9)$ di mana bagian kedua memiliki $n$ buah angka 9. Berapakah nilai $n$ sehingga jumlah digit dari $x$ sama dengan 999?
Berapakah bilangan bulat positif terkecil $n$ sedemikian sehingga 24 membagi $n^2 + 7n$?
Tristan melempar koin 22 kali. Untuk 2 lemparan pertama, dia mendapatkan 1 angka dan 1 gambar. Untuk setiap lemparan setelah yang kedua, Evil Yuuki menukar koin Tristan dengan koin tidak adil sehingga setelah $n$ lemparan, peluang lemparan berikutnya adalah angka adalah $\frac{h}{n}$ di mana $h$ adalah jumlah angka yang didapatkan Tristan sampai saat itu. Hitunglah peluang bahwa 20 lemparan terakhir Tristan semuanya jatuh pada gambar. Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan biasa.
Arpit berlari dalam garis lurus dengan kecepatan 60 mil per jam. Dia memiliki jam tangan, dan waktu menunjukkan pukul 1:00 AM. Setiap 10 menit, dia memeriksa jam tangannya, memastikan 12 titik arah yang sedang dia lalui saat ini, lalu mengubah arah larinya ke arah jarum menit. Selain itu, karena Arpit kelelahan, dia melambat sebesar 10 mil per jam setiap kali dia memeriksa jam tangannya. Saat Arpit berhenti, seberapa jauh dia dari titik awalnya?
Annie memiliki lima bilangan bulat positif berurutan. Ketika ia mengalikan tiga di antaranya, ia mendapatkan hasil kali 160. Ketika ia mengalikan dua di antaranya, ia mendapatkan hasil kali 24. Berapakah jumlah dari kelima bilangan bulat milik Annie?
Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat yang memenuhi $(6a + b)^2 - (a + 6b)^2 = 4900$. Jika $ab \geq 0$, berapakah nilai terkecil dari $ab$?
Pada gambar di bawah, terdapat 16 titik yang membentuk kisi 4 kali 4. Berapa banyak segitiga yang ada dengan titik sudut yang masing-masing merupakan salah satu dari ke-16 titik tersebut?
Benjamin sakit polynomialitis setelah mengerjakan soal yang sangat menyenangkan. Dokternya meresepkan obat berbentuk kapsul dengan lebar 0,25 inci dan tinggi 1 inci. Diketahui bahwa kapsul terdiri dari dua belahan bola sempurna di ujung sebuah silinder, volume pil tersebut dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}\pi$ inci$^3$ untuk bilangan bulat positif $a$ dan $b$ yang relatif prima. Berapakah $a + b$?
Misalkan $a$ dan $b$ adalah digit dalam basis $(a + b)$ sedemikian sehingga nilai dari angka 2-digit $\underline{ab}$ dalam basis $(a + b)$ sama dengan 144 dalam basis 10. Berapakah $a + b$ dalam basis 10?
Luas sebuah segitiga siku-siku adalah 6 kali jumlah panjang kedua sisi tegaknya. Berapa banyak segitiga siku-siku tidak kongruen dengan panjang sisi tegak berupa bilangan bulat yang memenuhi sifat-sifat ini?
Tristan menerima 4 nilai tes, semuanya berupa bilangan bulat antara 1 sampai 10.000, inklusif. Setelah dia menyusunnya dalam urutan tidak menurun, dia menyadari bahwa daftar angka tersebut merupakan deret geometri dengan rasio 2. Selain itu, rata-rata dari $i$ angka pertama adalah bilangan bulat, untuk semua $i$ dari 1 sampai 4, inklusif. Berapa banyak kemungkinan untuk nilai-nilai tes Tristan, dalam urutan saat dia menerimanya dari guru?
Misalkan $f(x) = \frac{(x + 1)^2}{x + 2}$ dan $g(x) = \frac{(x + 1)^2(x + 3)^2}{(x + 2)^2}$. Jika $a$ dan $b$ adalah solusi dari persamaan $f(x) = 4$, berapakah nilai dari $(7g(a) + 40)(7g(b) + 40)$?
Misalkan $ABCD$ adalah sebuah persegi panjang dengan $AB = 9$ dan $BC = 4$. Titik $P, Q, R,$ dan $S$ terletak masing-masing pada sisi $AB, BC, CD,$ dan $DA$. Titik $E, F, G,$ dan $H$ terletak masing-masing pada $SP, PQ, QR,$ dan $RS$, sedemikian sehingga $EFGH$ adalah persegi panjang dengan $EF = 5, FG = 2,$ dan $EF \parallel AB$. Berapakah luas $PQRS$?

SMC 2023 - Grade 10, 11, 12

Admin dot — Sat, 27 Jun 2026 01:39:02 +0000

Find the Lowest Common Multiple of 315 and 78.
In a video game competition with 15 rounds:
- Each victory awards the player 2 points.
- For each defeat, 1 point is deducted.
- If a player decides to skip a round, 0.4 points are deducted.
Michael participated in the competition and won 7 rounds, lost 3 rounds, and decided to skip 5 rounds. How many points did he score?
Without the use of calculators, estimate the value of $\sqrt{442}-\sqrt{65}$.
$$3.5\text{ : }\frac{27}{4}=x\text{ : }y,$$ where 𝑥 ∶ 𝑦 is a ratio in the simplest form. Find the value of 𝑦 − 𝑥.
When $13𝑥^3 − 23𝑥$ is subtracted from $31𝑥^3 − 13𝑥 + 27$, the result is $𝑎𝑥^3 + 𝑏𝑥 + 𝑐$. Find the sum of 𝑎, 𝑏 and 𝑐.
Given the linear function $\frac{5}{3}$𝑦 − 15𝑥 = 25, find the sum of its gradient and 𝑦-intercept.
𝐴𝐵𝐶 is a straight line. Find the value of 100𝑦. Give your answer correct to the nearest integer.
𝑃 is the point (−2, 8) and 𝑄 is the point (𝑥, 3).
$\overrightarrow{PQ}=\binom{-11}{y}.$
Find the value of 𝑦 − 𝑥.
At a 24-hour cafe, the kitchen staff can prepare 12 burgers in 20 minutes. How many burgers can the cafe prepare in 24 hours?
It is given that 𝑚 is inversely proportional to the square of 𝑛. It is known that 𝑚 = 270 for a particular value of 𝑛. Find the value of 𝑚 when this value of 𝑛 is tripled.
Emma bought a unique piece of artwork for $\$$2075. She sold it at a discount of 17% on the marked price and made a profit of 60% on the cost price. Find the marked price, in dollars.
In the sequence below, 𝑝 is the largest two-digit prime number. Find the value of 𝑝. $$−30, −23, −16, −9, −2, …$$
In a school fundraiser, Emily raised 40% as much money as her friend Sarah. Sarah collected 150% as much money as her younger sister, Lily. Emily raised 𝑝% as much money as Lily. Find the value of 𝑝.
Sets 𝐴, 𝐵 and 𝐶 are defined as follows:
𝐴 = {𝑥: 𝑥 𝑖𝑠 𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟}
𝐵 = {𝑥: 𝑥 𝑖𝑠 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟}
𝐶 = {𝑥: 𝑥 𝑖𝑠 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑜𝑓 4620}
Find 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶).
Given that $\frac{9}{x+7}+\frac{13}{x-5}=\frac{ax+b}{x^2+2x+c}$. Find the sum of $a,b$ and $c$.
Tom is practising his basketball free throws every day until he succeeds. The probability of him making a successful free throw each day is $\frac{3}{4}$. Given that the probability that Tom makes a successful free throw either on the first day or the second day is $\frac{𝑎}{𝑏}$, find the sum of 𝑎 and 𝑏.
In an 𝑘-sided polygon, the size of each interior angle is 156°. Find the value of 𝑘.
It is given that −6 < 𝑚 ≤ 3 and −5 ≤ 𝑛 < 6, where 𝑚 and 𝑛 are integers. Find the greatest possible value of $4𝑚^2 + 25𝑛^2$ − 12𝑚 − 70𝑛 + 70.
The straight line 12𝑦 + 18𝑥 − 180 = 0 intersects the $x$-axis and $y$-axis at (𝑎, 𝑏) and (𝑐, 𝑑) respectively. Find the sum of 𝑎, 𝑏, 𝑐 and 𝑑.
In a right-angled triangle 𝐴𝐵𝐶 below, 𝐴𝐵 = 18, ∠𝐶𝐴𝐵 = 75° and 𝐵𝐷 is a median. Find the length of 𝐴𝐷. Round off the answer to the nearest integer.
Given that $𝑚^2 − 𝑛^2 = 495, 𝑚^2 − 2𝑚𝑛 + 𝑛^2 = 1089, 𝑚 > 0$ and 𝑛 < 0, find the value of $𝑚^2 + 𝑛^2$.
The lines $𝑦 = −2𝑥 + 8$ and $𝑦 = \frac{1}{2}𝑥 − 2$ meet at (4, 0), as shown. What is the area of the triangle formed by these two lines and the line 𝑥 = −2?
Three fair dice are rolled and the product of the numbers obtained is recorded. The probability that the product is not a prime number is $\frac{𝑎}{𝑏}$, where $\frac{𝑎}{𝑏}$ is in the simplest form. Find the value of 𝑎 + 𝑏.
A car leaves from city A on a bearing of 320° towards city B. From city B, it travels to city C which is 40 km away. After resting for half an hour, the car travels again to city D, which is due north of city B. The figure below shows the route taken by the car. Given that ∠𝐴𝐵𝐶 = 100° and ∠𝐵𝐶𝐷 = 30°, what is the measurement of ∠𝐵𝐷𝐶, in degrees?
A metal cone of a base radius of 10 cm and height of 40 cm is melted and cast into a sphere. Find the surface area of the sphere, in square centimetres. Round off the answer to the nearest integer.
The mean, median, mode and range of 5 integers are 69, 83, 85 and 70, respectively. What is the second smallest of the five integers?
The table below shows the number of toys that 60 children purchased in a store.

If the median is given to be 4.5, find the mean of this distribution. Round your answer to the nearest integer.
In the cube below, the diagonals of the face intersect at point Q and R is a vertex. Given that the length of the edge is 2, find the length of QR. Round off the answer to the nearest integer.
In the diagram, 𝐴𝐵𝐶 is a straight line.
$\overrightarrow{BA}=14b,\overrightarrow{CA}=21a,\overrightarrow{DA}=xa+yb$ and 𝐶𝐷 ∶ 𝐷𝐵 = 5 ∶ 2. Find the value of 𝑥 + 𝑦.
In the diagram below, square ABCD with side length 2 is inscribed in a circle. Semicircular arcs are drawn on each side of the square. What is the area of the shaded region outside the circle and inside the semi-circles?
Givent that 𝑎 and 𝑏 are integers, find the value of 𝑎 + 𝑏.
Cylindrical container A has a height of 15 metres and a radius of 4 metres. Cylindrical container B has a height of 7 metres and a radius of 6 metres. Tom filled container A with water to its brim and then transferred the water from container A to container B until both containers had the same depth of water. Given that container B was empty at first, what was the depth of water in each container, in metres, after the transfer? Round your answer to the nearest integer.
If the mean of the data set below is 2, find the median of the data. $$𝑎^2 − 22𝑎 + 6, 7, 2𝑎 − 13, 10𝑎 + 18, 17$$
The area of the square base of a pyramid is 1440 $\text{cm}^2$. The triangular faces of the pyramid are identical and each has an area of 840 $\text{cm}^2$. What is the height of the pyramid, in cm?
Find the value of 𝑛.

SMC 2023 - Grade 9

Admin dot — Sat, 27 Jun 2026 00:54:46 +0000

When expressed as a product of its prime factors, 18200 = $2^𝑎 × 5^𝑏 × 7^𝑐 × 𝑑$. Find the value of 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑.
A map is drawn to a scale of 1 : 2700. What is the distance, in cm, between two buildings on the map which are 6750 metres apart?
$15𝑥^2 + 14𝑥 − 8$ can be expressed as (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑), where 𝑎, 𝑏, 𝑐 and 𝑑 are constants. Find the value of 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑.
The length of the diagonal of the square is 95 cm. What is the length of a side of the square, in cm? Round off the answer to the nearest integer.
Solve the equation 5𝑥 − 17 = 39 − 2𝑥.
Estimate the value of $(\sqrt{226.5} − 5.7)^2$, correct to 1 significant figure.
𝑚 is the largest integer and 𝑛 is the smallest integer satisfying $$-2\le\frac{6+2y}{5}<4$$ Find the value of 𝑚 − 𝑛.
When Tom sold his toy for $\$$225, he incurred a loss of 25%. At what price should he have sold the toy to make a 37% profit instead? Round off the answer to the nearest integer.
Given the sequence: $$4, 11, 30, 67, 128, 𝑚, 𝑛, …$$ Find the sum of 𝑚 and 𝑛.
In parallelogram 𝐴𝐵𝐶𝐷 below, 𝐴𝐸 is perpendicular to 𝐷𝐶 and 𝐷𝐹 is perpendicular to 𝐵𝐶. If 𝐴𝐷 = 10, 𝐶𝐷 = 15 and 𝐴𝐸 = 6, find the length of 𝐷𝐹.
Amy and Ben live in different cities, and they are in different time zones. When it is 6:00 AM on June 1st in Ben's city, it is 10:30 PM on May 31st in Amy's city. Amy decides to take a train from her city to Ben's city. The train departs from Amy's city at 11:20 PM on June 1st and arrives in Ben's city at 9:05 AM on June 2nd. The distance covered during the train journey is 850 kilometres. What was the average speed of the train, in km/h, during this journey? Give your answer correct to the nearest integer.
The sum of three consecutive even numbers is 1386. Find the largest number among these 3 numbers.
In the figure, 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, and 𝐸𝐹 are straight lines. Find the value of 𝑥.
Given that 𝑚 is a positive number, find the value of 𝑚 if 1 : 𝑚 = 2𝑚 : 288.
5𝑚 + 3𝑛 = $\frac{7-2m}{n}$ can be expressed as 𝑚 = $\frac{an^2+bn+c}{dn+e}$. If 𝑎 < 0 and 𝑚 is fraction in simplest form. Find the value of 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒.
Solve the equation $\frac{81}{3^{3-a}}+7^3=2530$.
The line 𝑇 has a gradient of −18. It intersects the positive 𝑦-axis at point 𝑀 and the positive 𝑥-axis at point 𝑁. The area of triangle 𝑂𝑀𝑁 is 36 $\text{units}^2$. Find the length of 𝑀𝑁. Give your answer correct to the nearest integer.
Solve the simultaneous equations and find the sum of 𝑎 + 𝑏. $$\frac{4}{3}a+7b=239$$ $$\frac{23}{3}a-466=3b$$
A quadratic graph has the line of symmetry 𝑥 = 10.5. It passes through points (1, 7) and (𝑟, 7). Find the value of 𝑟.
Find the smallest positive integer value of 𝑚 for which 700𝑚 is a multiple of 125.
In the cube below, the diagonals of the face intersect at point Q and R is a vertex. Given that the length of the edge is 4, find the length of QR. Round off the answer to the nearest integer.
Given that $m=\frac{3n+7}{5-3n}$, when $n$ is the expressed in terms of $m,n=\frac{am+b}{cm+d}$. Find the sum of $a,b,c$ and $d$.
The 𝑥-coordinates of the points of intersection of the graphs $𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛$ and $𝑦 = 3𝑥^2 − 7𝑥 + 2$ are the solutions to the equation $𝑥^2 − 6𝑥 − 13 = 0$. Find the value of $𝑚 + 𝑛$.
There are some blue, white and orange socks in a drawer. A sock is randomly chosen.
- The probability that the sock is blue or white is $\frac{4}{7}$.
- The probability that the sock is white is $\frac{9}{28}$.
- The probability that the sock is blue or orange is $\frac{m}{n}$, where the fraction $\frac{m}{n}$ is in the simplest form.
Find the value of 𝑚 + 𝑛.
An 𝑛-gon is such that 4 of its interior angles are each equal to 105° and the remaining interior angles are each equal to 170°. Find the value of 𝑛.
A data set has eight integer data values: 5, 12, 11, 3, 2, 𝑚, 𝑛 and 10, where 𝑚 < 𝑛. The mean is 7.75, the median is 8 and there is no mode. Find the value of 𝑚 + 3𝑛.
Given that $𝑚𝑛 = 4$ and $𝑚^2 + 𝑛^2 = 41$, find the value of $(𝑚 + 𝑛)^4$.
In the diagram below, square ABCD with side length 4 is inscribed in a circle. Semicircular arcs are drawn on each side of the square. What is the area of the shaded region outside the circle and inside the semi-circles?
$$\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\cdots}}}}=x$$ Find the value of 𝑥.
In right-angled triangle 𝐴𝐵𝐶, point 𝐷 is on side 𝐵𝐶 and 𝐴𝐵 = 10 cm, 𝐴𝐶 = 20.6 𝑐𝑚, 𝐴𝐷 = 11.7 cm. Find the length of 𝐷𝐶 in cm, leaving the answer to the nearest integer.
Cylindrical container A has a height of 10 metres and a radius of 4 metres. Cylindrical container B has a height of 7 metres and a radius of 6 metres. Tom filled container A with water to its brim and then transferred the water from container A to container B until both containers had the same depth of water. Given that container B was empty at first, what was the depth of water in each container, in metres, after the transfer? Round off the answer to the nearest integer.
The area of the square base of a pyramid is 2880 $\text{cm}^2$. The triangular faces of the pyramid are identical and each has an area of 840 $\text{cm}^2$. What is the height of the pyramid, in cm? Round off the answer to the nearest integer.
The table below shows the number of toys that 100 children purchased in a store.

If the median is given to be 5.5, find the mean of this distribution. Round your answer to the nearest integer.
In triangle 𝐴𝐵𝐶 below, 𝐴𝐵 = 10 m, ∠𝐴𝐶𝐵 = 65° and ∠𝐶𝐴𝐵 = 40°, find the area of ∆𝐴𝐵𝐶. Round off the answer to the nearest integer.
In the diagram below, three identical small circles of radius 10 are tangent to each other and the rectangle, as shown. The rectangle is inscribed in a large circle as shown. What is the area of the large circle, in cm? Round off the answer to the nearest integer.

SMC 2023 - Grade 8

Admin dot — Fri, 26 Jun 2026 09:22:41 +0000

The length of the diagonal of the square is 80 cm. What is the length of a side of the square, in cm? Round off the answer to the nearest integer.
How many perfect squares satisfy the inequality below? $$\frac{7-3x}{5}\ge -11$$
The current ages of Tom and Harry are (2𝑥 + 3𝑦) and (5𝑥 − 9𝑦), respectively. Five years ago, the sum of their ages was (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐). Find the value of (𝑎 − 𝑏 + 𝑐).
Simplify: $$\frac{32.8\times 32.8+2\times 32.8\times 67.2+67.2\times 67.2}{10}$$
If an interior angle of a regular polygon with 𝑛 sides is 1500, how many sides does the polygon have?
Harry bought a bicycle for $\$$450 and he spent $\$$80 on its repair. If he sold the cycle for $\$$600, how much percentage profit did he make? Round off the answer to the nearest integer.
Find the 100th term in the sequence below. $$2, 5, 8, 11, 14, …$$
A map is drawn to a scale of 1 : 2700. What is the distance, in cm, between two buildings on the map which are 9450 metres apart?
Alan can finish a project in 15 days. Ben can finish the same project in 20 days. In how many days can they finish $\frac{7}{12}$ of the project if they work on it together?
It is given that 𝑚 is inversely proportional to the square of 𝑛. It is known that 𝑚 = 270 for a particular value of 𝑛. Find the value of 𝑚 when this value of 𝑛 is tripled.
A sphere of radius 4 cm is melted and recast into smaller spheres of radii 2 cm each. How many such smaller spheres can be made?
Segment AB is parallel to segment EF and segment AC is parallel to DE. If the ∠BAC = 113°, what is the value (in degrees) of ∠DEF?
The sum of two numbers is 204 and their product is 68. Find the sum of their reciprocals.
Estimate the value of the expression below. Round off the answer to the nearest integer. $$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$$
The graph of the curve $𝑦 = 5𝑥^2 − 𝑘𝑥 + 32$ intersects the 𝑥-axis at 𝑥 = 4. Find the value of 𝑘.
If $y=x+\frac{3}{2}$ and $x=\frac{(yz+\frac{1}{B})}{z}$, find the value of $\frac{1}{B^2}$.
If 𝑥:𝑦 = 7:5, find the value of $\frac{(x^3+y^3)}{x^3-y^3)}$. Round off the answer to the nearest integer.
There are some blue, white and orange socks in a drawer. A sock is randomly chosen.
- The probability that the sock is blue or white is $\frac{4}{7}$.
- The probability that the sock is white is $\frac{9}{28}$.
- The probability that the sock is blue or orange is $\frac{𝑚}{𝑛}$, where the fraction𝑚𝑚𝑛𝑛 is in the simplest form.
Find the value of 𝑚 + 𝑛.
Given that 𝑚𝑛 = 4 and $𝑚^2 + 𝑛^2 = 41$, find the value of $(𝑚 + 𝑛)^2$.
A train travelled from station A to station B at a speed of 60 km/h. The train travelled from station B to station A at a speed of 80 km/h. What is the average speed (in km/h) of the train for the whole journey? Round off the answer to the nearest integer.
Two inlet pipes can fill up an empty water tank in 2 hours and 4 hours, respectively. An outlet pipe can empty the same tank filled fully by with water tank in 8 hours. If all the pipes are turned on at the same time, how many minutes will it take to fill up the empty water tank fully?
If $\frac{6}{(x^2-4)}-\frac{1}{(x+2)}+\frac{1}{(x-2)}=2\frac{(px+q)}{(x^2-4)}$, find the value of $p^2+q^2$.
If $2^{𝑥−5𝑦} = 𝑝^{5𝑎}$ and $2^{2𝑥+7𝑦−238} = 𝑝^{10𝑎}$ where 𝑝 ≠ 0, find the value of 𝑦.
The ratio of two positive integers is 2 : 3 and their Lowest Common Multiple is 174. Find the sum of the two numbers.
If $\frac{1}{(x-y)(y-z)}+\frac{1}{(y-z)(z-x)}+\frac{1}{(z-x)(x-y)}=p-3$, then find the value of $p$.
In right-angled triangle ABC, angle A is the right angle and AD is the height. If AD = 4, find the value of BD × CD.
When $(𝑥^2 – 𝑏𝑥 + 𝑐)$ is divided by $(𝑥 + 1)$, the quotient is $(𝑥 − 2)$ and the remainder is −7. Find the values of 𝑏 − 𝑐.
The original price of a book is increased by 10% and then decreased by 10%. If the original price of the book is $\$$1300, what is the current price?
If the two digits of a two-digit number are reversed, the new 2-digit number is increased by 9. If the sum of the digits is 17, find the original number.
The area of an equilateral triangle is $25\sqrt{3}\text{ cm}^2$ . Find the side length of the triangle, in cm.
The point 𝑃(1,1) is rotated about the origin O in the anti-clockwise direction with OP as the radius by 180°. If R is its new position and the slope of line RO is 𝑚 = tan 𝛼° and 𝛼° is an acute angle, find the value of (m + α).
The areas of two similar triangles are 90$\text{ cm}^2$ and 360$\text{ cm}^2$. The sum of their perimeters is 36 cm. What is the positive difference between their perimeters?
A car travelled a distance of 240 km at a certain uniform speed. If its speed was increased by 20 km/h, it would have taken 1 hour less to cover the same distance. What is the original speed of the car, in km/h?
If the mean of the data set below is 2, find the median of the data. $$a^2-22a+6,7,2a-13,10a+18,17$$
(𝑥 − 2) is a factor of $𝑥^2 − 𝑘𝑥 + 𝑚$ and $(𝑥 − 1)$ is a factor of $𝑥^2 − 𝑘𝑥 + 𝑚 + 5$. What is the value of 𝑘 − 𝑚?

SMC 2023 - Grade 7

Admin dot — Fri, 26 Jun 2026 07:55:36 +0000

Given the equation 20𝑥 − + 5𝑥 = 𝑚(𝑠𝑥 + 𝑡𝑦), 𝑚 > 3 and 𝑚, 𝑠, and 𝑡 are integers, find the sum of 𝑚, 𝑠, and 𝑡.
Find the smallest possible integer 𝑚 such that 120𝑚 is a perfect square.
Consider a sequence where the 𝑛-𝑡ℎ term is given by $𝑇_𝑛 = (3𝑛 + 2)^3$. Find the difference between the 6th and 5th term of the sequence.
A sum of money was divided among Alice, Bob, and Carol in the ratio of 7:3:10. If Bob received $\$$80 less than Carol, find the average amount of money received per person, in dollars. Round off the answer to the nearest integer.
Emily, travelling at an average speed of 5 km/h, takes 40 minutes to walk to the library. If she left her house for the library at 08:30 AM, calculate the average speed, in m/s, at which she must travel if she is to reach the library by 09:00 AM. Round off the answer to the nearest integer.
Find the gradient of the graph shown. Round off the answer to the nearest integer.
Given that −5 ≤ 𝑥 ≤ 3, 3 ≤ 𝑦 < 15 and 2 ≤ 𝑧 ≤ 10, and 𝑥, 𝑦, and 𝑧 are natural numbers, find the smallest value of $𝑀 = 4𝑥^3 − 2𝑦^2 + 3𝑧^4$. If 𝑀 is negative number, express your answer of 𝑀 as a positive integer.
Estimate $\frac{\sqrt{125}+5.5552}{3.33\times 4.444}$ and round off the answer to the nearest integer.
Solve the equation: $$36(x+\frac{9}{2})+24(x+3)=120x$$ Round off the answer to the nearest integer.
The diagram shows an isosceles triangle where 𝑃𝑄 = 𝑅𝑄. Find the value of 𝑥. Round off the answer to the nearest integer.
In 2022, a company spent 25% of its budget on research, 15 on marketing, and 10% of the remaining budget on employee benefits. The total expenditure was $\$$4,689,000. In 2023, the company's budget increased by 20% . The total expenditure on research, marketing, and employee benefits increased by 18%. If the marketing budget increased by 15%, and the spending on employee benefits decreased by 8%, by what percentage did the spending on research change? Round the answer to the nearest percentage.
A cyclist rides from Point 𝑋 to Point 𝑌 at an average speed of 𝑣 km/h for 30 minutes. She then rides back from Point 𝑌 to Point 𝑋 at an average speed of 𝑤 km/h. The ratio 𝑣 : 𝑤 is 7 : 8. Find the total time (in minutes) taken for the entire journey. Round off the answer to the nearest integer.
The diagram shows a semicircle where 𝑃𝑄 = 12 is a diameter. 𝑅 is the point on the semicircle such that 𝑃𝑅 = 𝑄𝑅. Find the area of the shaded region. Round off the answer to the nearest integer.
The diagram shows a prism. The base of the prism is in the shape of a trapezium. The lengths shown are in centimeters. Find the volume of the prism in $\text{cm}^3$.
The ratio of $p:q=2\frac{2}{3}:\frac{4}{7}$ and $q:r=1:3$. Given that $\frac{p}{r}=\frac{x}{y}$ in its simplest form, find the sum of $x$ and $y$.
In the figure 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇, find the sum of all reflex angles.
The total number of employees hired by Bluebird Corporation and Starlight Enterprises from 2014 to 2017 is detailed below. Determine the percentage of employees hired in 2016 out of the total number of employees hired over these four years. Round your answer to the nearest percentage.
Greenland Park has decided to repurpose a circular area with a circumference of 40𝜋 𝑚 into an outdoor concert stage. The stage, shaped like a trapezium, will be constructed on this land, with the longer of its parallel sides matching exactly the diameter of the circle.

The lengths of the trapezium's parallel sides are in the ratio of 3:4, and the the distance between the parallel sides is 14.2𝑚. If the cost of flooring per square metre is $\$$20, calculate the total cost for the stage flooring. (Figure not drawn to scale)
The rectangle shown in Figure 1 is cut along its diagonal to obtain two triangles. The two triangles are then rearranged as shown in Figure 2. 𝑄𝑅𝑆 is a straight line and a line is drawn to joined 𝑃 and 𝑇. Find the value of 𝑥.
The time zone in Sydney, Australia is GMT +10, while the standard time zone in Los Angeles, USA is GMT −8. A flight departs from Los Angeles at 2200 ℎ local time on 15 August 2023 and arrives in Sydney at 0630 ℎ local time on 17 August 2023. Calculate the duration of the flight in minutes.
Consider the number pattern:
$1^{𝑠𝑡}\text{ 𝑡𝑒𝑟𝑚}: 1^2 − 0^2 + 2 = 3$
$2^{𝑛𝑑}\text{ 𝑡𝑒𝑟𝑚}: 2^2 − 1^2 + 5 = 8$
$3^{𝑟𝑑}\text{ 𝑡𝑒𝑟𝑚}: 3^2 − 2^2 + 8 = 13$
$4^{𝑡ℎ}\text{ 𝑡𝑒𝑟𝑚}: 4^2 − 3^2 + 11 = 18$
$𝑛^{𝑡ℎ}\text{ 𝑡𝑒𝑟𝑚}: 𝑥^2 − 𝑦^2 + 𝑧 = 268$
Find the sum of 𝑥, 𝑦 and 𝑧.
(𝐻𝑖𝑛𝑡: $(𝑛 − 1)^2 = 𝑛^2 − 2𝑛 + 1$)
A sequence of patterns is formed using matchsticks. The first three patterns are shown below. The dots indicate where two or more matchsticks meet.

The table below describes some information about the sequence of patterns:

What is the sum of T and D in Pattern 45?
Segment AB is parallel to segment EF and segment AC is parallel to DE. If the ∠BAC = 113°, what is the value (in degrees) of ∠DEF?
In the figure below, there is a right cone with a base radius of 𝐶𝑃 = 5 metres and a height of 𝐶𝑇 = 6 metres. What is the total surface area of the cone, including the base, in square metres? Give your answer correct to the nearest integer.
A rectangular piece of paper is such that its breadth is 65% as long as its length. It is cut into two equal pieces by cutting along a line parallel to the breadth. One of the pieces is then rotated by 90° and placed beside the other piece to obtain a new figure. Find the percentage increase in the perimeter compared to the original piece of paper. Give your answer correct to the nearest integer.
James ran 40% of a track at 4 km/h. He then increased his speed by 20% for the remainder of the track. He took 1 hour 14 minutes to run the entire track. Find the length of the track correct to the nearest kilometre.
Two inlet pipes can fill up an empty water tank in 2 hours and 4 hours, respectively. An outlet pipe can empty the same tank filled fully by with water tank in 8 hours. If all the pipes are turned on at the same time, how many minutes will it take to fill up the empty water tank fully?
If $\frac{6}{(x^2-4)}-\frac{1}{(x+2)}+\frac{1}{(x-2)}=2\frac{(px+q)}{(x^2-4)}$, find the value of $p^2+q^2$.
Consider the following pattern. How many complete triangles are there in Figure 90?
A solid cuboid has the dimensions as shown in the diagram below. Two identical solids are removed from the cuboid. The cross section of each of the solids removed is the biggest possible quadrant that can be removed from the 12 cm by 4 cm face. Find the total surface area of the remaining solid in $\text{cm}^2$, giving your answer correct to the nearest integer.
In the following figure, points 𝐸 and 𝐷 are the midpoints of 𝐴𝐵 and 𝐴𝐶 , respectively. 𝐶𝐸 and 𝐵𝐷 intersect at point 𝑃. 𝐺𝐶 is parallel to 𝐴𝐵, intersecting the extension of 𝐵𝐷 𝑎𝑡 𝐺. If 𝐵𝑃 = 14 cm, what is the length of 𝐵𝐺 in cm?
Written as a product of its prime factors, 88 200 = $2^3 × 3^2 × 5^2 × 7^2$. The number 𝑛 is a factor of 88 200 and its last digit is 5. If it is not a perfect square, find the greatest possible value of 𝑛.
A cylindrical container with base diameter of 40 cm is filled with water to a depth of 10 cm. A cube with side of length 14 cm is placed on the base of the container and is partially immersed in the water. What is the percentage of the cube that is submerged in the water? Give your answer correct to the nearest integer.
In a survey, some students were asked to choose their favourite colour from Yellow, Red and Green. Each student chose exactly one colour. The results are represented on the pie chart as shown.

What is the minimum number of students who chose Red?
The area of the square base of a pyramid is 2880 $\text{cm}^2$. The triangular faces of the pyramid are identical and each has an area of 840 cm2. What is the height of the pyramid, in cm? Round off the answer to the nearest integer.